Maths课程

33 节课

• 代数式：字母、项与化简 – 代数式是用字母（变量）和数字，通过 +、−、×、÷ 连起来的式子，比如 3x + 2。变量表示一个可以变化的数。代数式由项组成（3x 和 2）。在 3x 中，3 是系数；像 2 这样不含字母的项叫常数项。同类项的字母部分完全相同（3x 和 5x），可以相加减；不同类项（3x 和 2，或 x 和 x²）不能合并。代入求值就是用数字代替字母，算出式子的值。展开就是去掉括号：a(b + c) = ab + ac。因式分解则相反：提出公因式。公式是由已知量求另一个量的式子，恒等式则是字母取任何值都成立的等式。
• 导数的应用 – 导数表示一个量相对于另一个量变化得有多快。导数的正负告诉我们函数是上升（f′ > 0，递增）还是下降（f′ < 0，递减）。f′ = 0 的地方切线是水平的，这样的临界点可能是极大值点或极小值点，可以用一阶导数判别法（看导数符号是否变化）或二阶导数判别法（看 f″ 的符号）来判断。这样我们就能解决最大的盒子、最省材料的水箱这类实际问题。
• 对数 – 对数告诉你需要几次方。log_b x = y 的意思是 b^y = x。所以 log₂ 8 = 3，因为 2³ = 8。对数能把乘法变成加法：log(ab) = log a + log b，log(a/b) = log a − log b，log(aⁿ) = n log a。底数是 10 的叫常用对数，底数是 e 的叫自然对数（ln）。底数还能换：log_b x = log x ÷ log b。
• 二次三项式的因式分解 – 像 x² + 5x + 6 这样的二次三项式，可以写成两个括号相乘：(x + 2)(x + 3)。对于 x² + bx + c，要找两个数，它们的积是 c，和是 b。对于 ax² + bx + c，要找两个数，积是 a × c，和是 b，用它们拆开中间项，再提公因式。最后一定要展开检查。
• 方程组与同解方程组 – 方程组是一组必须同时成立的方程。如果两个方程组的解完全相同，我们就说它们是同解的。交换两个方程的位置、把一个方程乘以不为零的数、把一个方程的若干倍加到另一个方程上，这些变形都不会改变方程组的解，所以我们可以把方程组变简单，而不丢掉答案。
• 复合函数的图像与方程的几何图形 – 括号里面变，图像左右移动；括号外面变，图像上下移动或翻折。|f(x)| 把 x 轴下方的部分翻到上方，f(|x|) 把右半边复制到左边。含 x 和 y 的方程也能画出图形，比如圆或菱形；只有当每条竖直线最多穿过它一次时，它才是函数的图像。
• 复数与二次方程 – 像 x² + 1 = 0 这样的方程没有实数解，因为任何实数的平方都不会是负数。于是我们引入一个新数 i，规定 i² = −1。复数写成 z = a + ib：a 叫实部，b 叫虚部。复数的加、减、乘和普通代数一样，只要把 i² 换成 −1。做除法时，分子分母同时乘以分母的共轭复数。在复平面上，z = a + ib 就是点 (a, b)。共轭复数 a − ib 是它关于实轴的镜像，模 √(a² + b²) 是它到原点的距离。判别式 D = b² − 4ac < 0 的二次方程 ax² + bx + c = 0 有两个互为共轭的复数根。
• 高等数学入门：三角函数、微积分、几何与概率 – 高中的高等数学主要有三大块。三角函数和微积分研究波动与变化：从圆得到 sin θ，导数是斜率，积分是面积。几何研究图形和立体，比如圆锥 : 球 : 圆柱 = 1 : 2 : 3。概率与统计衡量机会和数据，从骰子一直到钟形曲线。
• 高中极限：函数值会靠近哪个数 – 极限告诉我们：当 x 靠近某一点时，f(x) 会靠近哪个数。我们从左边和右边分别走向这个点，如果两边靠近的是同一个数，这个数就是极限。你会学到多项式、分式、三角、指数和对数函数的极限，以及必须记住的重要结论。
• 含参数的方程与不等式 – 参数是像 a 这样的字母，它代表一个确定的数，只是我们还不知道是几。题目常问：“a 取什么值时，方程有 0 个、1 个、2 个或更多个解？”图像法的做法是：把方程写成 f(x) = a，然后让水平直线 y = a 在曲线 y = f(x) 上上下滑动。
• 函数研究：周期性、单调性、极值，以及区间上的最大值和最小值 – 研究一个函数，我们问四个问题。图像会重复吗（周期 T，满足 f(x + T) = f(x)）？哪里上升、哪里下降（看斜率的正负）？哪里拐弯（斜率为 0，得到极大值或极小值）？在选定的区间 [a, b] 上，哪个值最大、哪个最小（比较两个端点和区间内的转折点）？
• 混合比例与十字交叉法 – 两种原料的单价（或浓度）分别是 c 和 d，混合后的平均价格 m 一定在两者之间。十字交叉法告诉我们：便宜的与贵的数量之比等于 (d − m) : (m − c)。这其实是加权平均 m = (q₁c + q₂d) ÷ (q₁ + q₂) 的一个快捷算法。如果每次从 V 个单位的容器中倒出 x 个单位、再加水补满，重复 n 次，剩下的原液是 V(1 − x/V)ⁿ。
• 积分 – 积分是求导的逆运算:如果 F′(x) = f(x),那么 ∫f(x) dx = F(x) + C。我们可以用常用公式、换元法(把里面的一部分换成 u)、部分分式(把一个分式拆开)和分部积分(∫u dv = uv − ∫v du)来求积分。定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx 表示曲线从 a 到 b 之间带符号的面积,基本定理告诉我们它等于 F(b) − F(a)。利用定积分的性质,很多难题都会变简单。
• 角平分线 – 角平分线是从角的顶点出发、把角分成两个相等部分的一条射线。线上每个点到角两边的距离都相等；反过来，到两边距离相等的点也一定在这条射线上。只用圆规和直尺就能画出它。
• 绝对值与区间 – 绝对值 |x| 是 x 在数轴上到 0 的距离，所以永远不会是负数。|x - a| 表示 x 和 a 之间的距离。解 |x - a| = b 得 x = a + b 或 x = a - b。区间是数轴上的一段，用圆括号（不含端点）或方括号（含端点）来写。
• 均值不等式（AM–GM） – 对于两个正数 a 和 b，算术平均数 (a+b)/2 永远不小于几何平均数 √(ab)。只有当 a = b 时，两者才相等。由此可知：和固定时，积最大；积固定时，和最小。
• 离散程度的度量：极差、平均偏差、方差和标准差 – 离散程度就是数据的“分散程度”：数值离中心有多远。极差 = 最大值 − 最小值。平均偏差 = 各数据到平均数（或中位数）的距离的平均值。方差 = 各数据到平均数的距离的平方的平均值。标准差 = √方差。对于分组数据，只要把每一项乘以频数 f，方法完全一样。
• 立体图形：面、棱、顶点、展开图和三视图 – 立体图形有长、宽、高，所以会占据空间。我们通过数它的面（平的或弯的表面）、棱（两个面相交的线）和顶点（角上的点）来描述它。棱柱有两个相同的底面，侧面是长方形；棱锥有一个底面，侧面是交于顶端一点的三角形；圆柱、圆锥和球有曲面。展开图是能折成立体图形的平面图案。从上面、前面和侧面看立体图形，画出的图叫三视图。对只有平面的立体图形，面数 + 顶点数 − 棱数 = 2（欧拉公式）。
• 连续性与可导性 – 函数在某一点连续,意思是图像在那里没有断开:左极限、右极限和函数值三者相等。导数就是切线的斜率。学会链式法则、隐函数求导、eˣ、ln x 和反三角函数的求导公式、对数求导法以及参数方程求导,你就能对几乎所有高中函数求导。二阶导数告诉我们斜率本身怎样变化,也就是曲线怎样弯曲。
• 年金：等额付款、终值与现值 – 年金是指每隔相同的时间、付出相同金额的一系列款项，比如每月存钱或每月还贷。每笔款项都会产生复利，所以这些款项构成一个等比数列。普通年金（每期期末付款）的终值：FV = P[(1+i)ⁿ − 1]/i。现值（这些款项今天值多少钱）：PV = P[1 − (1+i)⁻ⁿ]/i。贷款用现值来算：贷款金额等于所有分期还款的现值。
• 年金与按揭贷款 – 年金是指每隔相同的时间、支付相同金额的一系列款项。按揭贷款是为买房等财产而借的一大笔钱，用年金的方式还清。每期还款分成两部分：利息（借钱的费用）和本金（真正减少欠款的部分）。刚开始，大部分还款是利息；后来，大部分是本金。摊还表会列出每一期的还款额、利息部分、本金部分和剩余欠款。还款额公式是 PMT = PV × i ÷ (1 − (1 + i)^−n)。利率越高、年限越长、每年还款次数越少，你付的总利息就越多。
• 曲线与曲面：把曲线旋转成曲面 – 曲线是一串按某种规则移动的点留下的轨迹。把曲线绕一条轴旋转，就扫出一个曲面。一条倾斜的直线转出圆锥，抛物线转出一只碗（抛物面），双曲线转出冷却塔（双曲面）。在某个高度切开曲面，得到一个圆，圆的半径由曲线决定。
• 数学建模：用数学描述真实世界 – 数学模型就是用方程、图像或表格，简单地描述一个真实情境。建模的循环是：弄清真实问题 → 选择变量并做出假设 → 建立模型（例如一次函数、二次函数或指数模型）→ 求解并预测 → 用真实数据检验答案 → 改进模型，或者说明它的适用范围。没有哪个模型是完美的，好的模型简单，而且足够接近现实，能派上用场。
• 探索代数恒等式 – 恒等式是指字母取任何值都成立的等式。用图形就能证明它：边长为 (a + b) 的大正方形可以分成 a²、ab、ab 和 b² 四块，所以 (a + b)² = a² + 2ab + b²。用同样的方法，我们还能得到 (a − b)²、a² − b² = (a + b)(a − b)、(x + a)(x + b)、(a + b + c)² 和 (a + b)³。把恒等式倒过来用，就能因式分解、快速计算和化简分式。
• 条件概率、乘法公式与独立事件 – 条件概率，就是在已经知道事件 B 发生的前提下，事件 A 发生的可能性。做法是把 B 之外的结果全部去掉，再重新数一遍：P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)。把它反过来写，就得到乘法公式 P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B)。如果知道 B 并不会改变 A 的概率，我们就说这两个事件相互独立，此时 P(A ∩ B) = P(A)·P(B)。
• 一次函数 – 一次函数的特点是：x 每增加 1，y 就增加（或减少）同样的量。它的规则是 y = mx + c（也写成 f(x) = mx + b）。m 是斜率：上升量 ÷ 水平量，也就是 x 每走 1 步，y 变化多少。c 是 y 轴截距：x = 0 时 y 的值。它的图像永远是一条直线。
• 一元一次方程 – 一元一次方程只有一个未知数(比如 x),而且 x 的次数是 1,例如 2x + 3 = 11。方程就像一架天平:左右两边相等。解方程时,要对两边做同样的事(加上、减去、乘以或除以同一个不为 0 的数),直到 x 单独留在一边。最后一定要把答案代回去检验。
• 应用题:用代数来解 – 应用题就是一个藏着数字的小故事。代数方法有四步:用字母表示未知数,把故事变成方程,解方程,再回到故事里检验答案。同样的四步可以用在数字、年龄、行程、工程和图形问题上,也适用于需要两个未知数或一元二次方程的题目。
• 圆锥曲线：圆、抛物线、椭圆和双曲线 – 用平面去切一个双圆锥，可以得到圆、椭圆、抛物线或双曲线；如果平面经过顶点，则得到一个点、一条直线或两条直线（退化圆锥曲线）。圆：(x − h)² + (y − k)² = r²。抛物线 y² = 4ax：焦点 (a, 0)，准线 x = −a，通径 4a，e = 1。椭圆 x²/a² + y²/b² = 1（a > b）：c² = a² − b²，焦点 (±c, 0)，e = c/a < 1，通径 2b²/a，PF₁ + PF₂ = 2a。双曲线 x²/a² − y²/b² = 1：c² = a² + b²，e = c/a > 1，通径 2b²/a，|PF₁ − PF₂| = 2a。
• 指数不等式、对数不等式和无理（根式）不等式 – 这三类不等式其实只有一个想法：比较两条图像。对于指数和对数，底数决定不等号要不要变向（底数大于1，不变；底数在0和1之间，变向）。对于对数和根式，要先检查定义域；根式不等式还要留意另一边的正负。
• 指数函数 – 指数函数的形式是 y = a·bˣ，其中 a ≠ 0 是起始值，b > 0 且 b ≠ 1 是增长因子。当 b > 1 时函数增长；当 0 < b < 1 时函数衰减。x 每增加 1，y 就乘以 b（比值不变），这和线性函数每次加上同一个数不一样。y = bˣ 的图像经过点 (0, 1)，定义域是全体实数，值域是 y > 0，x 轴是它的水平渐近线。一般形式 y = a·b^(k(x − d)) + c 可以对图像进行拉伸、翻折和平移。
• 指数运算法则 – 指数表示底数自乘多少次。底数相同时：相乘，指数相加；相除，指数相减；幂的乘方，指数相乘。a⁰ = 1，a⁻ⁿ = 1/aⁿ，a^(1/n) 就是 a 的 n 次方根。
• 坐标几何：距离公式与分点公式 – 平面上的每个点都有一个“地址” (x, y)。点 A(x₁, y₁) 和点 B(x₂, y₂) 之间的距离是 d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]，其实就是把横向差和纵向差放进勾股定理。点 P 在线段 AB 内部，把它按 m : n 分成两段，则 P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))。当 m = n 时，P 就是中点。