Leçons de Maths

34 leçons

Aire et volume du pavé, du cylindre, du cône, de la pyramide et de la sphère – L'aire d'un solide est la surface totale de sa peau extérieure, comme le papier qu'il faut pour l'emballer. Le volume est la place à l'intérieur, comme l'eau qu'il peut contenir. Le volume d'un pavé, c'est le nombre de cubes de 1 cm qui y entrent. Un cône contient un tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur, et une pyramide contient un tiers du prisme correspondant.
Algèbre vectorielle – Un vecteur a une taille (la norme) et une direction. En 3D on l'écrit a = xî + yĵ + zk̂. Sa longueur est |a| = √(x² + y² + z²). Ses cosinus directeurs sont l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|, et l² + m² + n² = 1. On additionne des vecteurs bout à bout (loi du triangle) ou composante par composante. ka allonge a de k fois et le retourne si k est négatif. Le point qui divise AB dans le rapport m : n a pour vecteur position (mb + na)/(m + n) à l'intérieur et (mb − na)/(m − n) à l'extérieur. Le produit scalaire a·b = |a||b|cosθ donne un nombre et renseigne sur l'angle et la projection. Le produit vectoriel a×b = |a||b|sinθ n̂ donne un vecteur perpendiculaire aux deux ; sa longueur est l'aire du parallélogramme construit sur a et b.
Applications des dérivées – La dérivée mesure à quelle vitesse une grandeur change par rapport à une autre. Son signe dit si une fonction monte (f′ > 0, croissante) ou descend (f′ < 0, décroissante). Là où f′ = 0, la tangente est horizontale : ces points critiques peuvent être un maximum ou un minimum local, que l'on vérifie avec le test de la dérivée première (changement de signe) ou de la dérivée seconde (signe de f″). On peut ainsi résoudre de vrais problèmes, comme la boîte la plus grande ou le réservoir le moins cher.
Continuité et dérivabilité – Une fonction est continue en un point quand sa courbe n'a pas de cassure à cet endroit : la limite à gauche, la limite à droite et la valeur sont toutes égales. La dérivée est la pente de la tangente. Avec la dérivée d'une fonction composée, la dérivation implicite, les règles pour eˣ, ln x et les fonctions trigonométriques inverses, la dérivation logarithmique et les formes paramétriques, tu peux dériver presque toutes les fonctions du lycée. La dérivée seconde dit comment la pente elle-même change, c'est-à-dire comment la courbe se courbe.
Découvrir les identités remarquables – Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres. Les dessins la prouvent : un carré de côté (a + b) se découpe en a², ab, ab et b², donc (a + b)² = a² + 2ab + b². De la même façon, on obtient (a − b)², a² − b² = (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (a + b + c)² et (a + b)³. Lues à l'envers, les identités servent à factoriser, à calculer vite et à simplifier des fractions rationnelles.
Dérivées (Première) : pente, taux de variation et règles – Une dérivée dit à quelle vitesse quelque chose change à un instant précis. Sur un graphique, c'est la pente de la tangente. On la trouve avec une limite : on prend un tout petit pas h, on calcule la variation moyenne, puis on fait tendre h vers 0. Ensuite on apprend les règles rapides pour xⁿ, sin x, cos x, les sommes, les différences, les produits et les quotients.
Équations du premier degré à une inconnue – Une équation du premier degré à une inconnue contient un nombre inconnu (comme x) à la puissance 1, par exemple 2x + 3 = 11. Une équation ressemble à une balance : les deux côtés sont égaux. Pour la résoudre, fais la même opération des deux côtés (ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par le même nombre non nul) jusqu'à ce que x soit seul. Vérifie toujours en remettant la réponse dans l'équation.
Équations du second degré – Une équation du second degré a x² comme plus grande puissance : ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. Elle a au plus deux racines. On les trouve en factorisant (on coupe le terme du milieu, puis on met chaque parenthèse égale à zéro) ou avec la formule x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Le discriminant D = b² − 4ac donne la nature des racines : D > 0 deux racines réelles différentes, D = 0 deux racines égales, D < 0 aucune racine réelle.
Fonction exponentielle – Une fonction exponentielle s'écrit y = a·bˣ, où a ≠ 0 est la valeur de départ et b > 0, b ≠ 1 est le facteur de croissance. Si b > 1, elle croît ; si 0 < b < 1, elle décroît. À chaque pas de 1 sur x, y est multiplié par b (un rapport constant), alors qu'une fonction affine ajoute une constante. La courbe de y = bˣ passe par (0, 1), son domaine est l'ensemble des réels, son image est y > 0, et l'axe des x est une asymptote horizontale. La forme générale y = a·b^(k(x − d)) + c l'étire, la retourne et la déplace.
Fonctions affines – Une fonction affine ajoute toujours la même quantité à y chaque fois que x augmente de 1. Sa règle est y = mx + c (on écrit aussi f(x) = mx + b). m est la pente (le coefficient directeur) : montée ÷ avancée, c'est-à-dire le changement de y pour 1 pas en x. c est l'ordonnée à l'origine : la valeur de y quand x = 0. Son graphique est toujours une droite.
Fonctions trigonométriques : radians, cercle unité, courbes et identités – Un angle d'un radian découpe sur le cercle un arc égal au rayon, donc π radians = 180°. Sur un cercle unité, le point d'angle x est P = (cos x, sin x), ce qui donne sin²x + cos²x = 1 et étend le sinus et le cosinus à tous les nombres réels. Les signes suivent la règle « Tous, Sin, Tan, Cos » dans les quadrants I à IV ; sin x et cos x se répètent tous les 2π et restent entre −1 et 1. Les formules d'addition comme cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B mènent à tan(A + B), cot(A + B), aux formules somme-produit, de duplication et de triplication.
Géométrie analytique : distance et partage d'un segment – Chaque point d'un plan a une adresse (x, y). La distance entre A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) est d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] : c'est simplement Pythagore appliqué à l'écart en x et à l'écart en y. Un point P qui coupe [AB] à l'intérieur dans le rapport m : n est P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)). Quand m = n, P est le milieu.
Intégrales – Intégrer, c'est dériver à l'envers : si F′(x) = f(x), alors ∫f(x) dx = F(x) + C. On intègre avec les formules usuelles, le changement de variable (on remplace une partie intérieure par u), les fractions simples (on découpe une fraction) et l'intégration par parties (∫u dv = uv − ∫v du). Une intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire algébrique sous la courbe de a à b, et le théorème fondamental dit qu'elle vaut F(b) − F(a). Ses propriétés rendent faciles beaucoup d'intégrales difficiles.
La modélisation mathématique : décrire le monde réel avec les maths – Un modèle mathématique est une équation, un graphique ou un tableau qui décrit une situation réelle de façon simple. Le cycle de modélisation : comprendre le problème réel → choisir les variables et faire des hypothèses → construire un modèle (par exemple linéaire, quadratique ou exponentiel) → résoudre et prédire → comparer le résultat avec des données réelles → améliorer le modèle ou dire ses limites. Aucun modèle n'est parfait ; un bon modèle est simple et assez proche de la réalité pour être utile.
Les coniques : cercle, parabole, ellipse et hyperbole – En coupant un double cône par un plan, on obtient un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole ; si le plan passe par le sommet, on obtient un point, une droite ou deux droites (coniques dégénérées). Cercle : (x − h)² + (y − k)² = r². Parabole y² = 4ax : foyer (a, 0), directrice x = −a, latus rectum 4a, e = 1. Ellipse x²/a² + y²/b² = 1 (a > b) : c² = a² − b², foyers (±c, 0), e = c/a < 1, latus rectum 2b²/a, PF₁ + PF₂ = 2a. Hyperbole x²/a² − y²/b² = 1 : c² = a² + b², e = c/a > 1, latus rectum 2b²/a, |PF₁ − PF₂| = 2a.
Les droites : pente, formes de l'équation et distance – La pente d'une droite est montée ÷ avance = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ. Deux droites parallèles ont la même pente ; deux droites perpendiculaires vérifient m₁m₂ = −1. L'angle entre deux droites vérifie tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|. Une droite peut s'écrire y = b ou x = a (parallèle à un axe), y − y₁ = m(x − x₁) (point-pente), y = mx + c (pente-ordonnée à l'origine), sous forme à deux points, ou x/a + y/b = 1 (forme par les intercepts). La distance de (x₁, y₁) à Ax + By + C = 0 vaut |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²).
Les limites : vers quelle valeur tend une fonction ? – Une limite nous dit vers quel nombre f(x) se rapproche quand x se rapproche d'un point. On marche vers le point par la gauche puis par la droite. Si les deux côtés arrivent au même nombre, ce nombre est la limite. Tu verras les limites des fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques, exponentielles et logarithmes, avec les résultats usuels à connaître.
Les logarithmes – Un logarithme donne la puissance dont on a besoin. log_b x = y veut dire b^y = x. Donc log₂ 8 = 3 car 2³ = 8. Les logs transforment une multiplication en addition : log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b, log(aⁿ) = n log a. La base 10 donne le log décimal, la base e donne le log népérien (ln). On peut changer de base : log_b x = log x ÷ log b.
Les pourcentages – « Pour cent » veut dire « sur 100 », donc x % = x/100. Pour trouver x % d'une quantité, on la multiplie par x/100. Variation en pourcentage = (variation ÷ valeur de départ) × 100. Pour augmenter de r %, on multiplie par (1 + r/100) ; pour diminuer de r %, par (1 − r/100). Pour des variations successives, on multiplie les coefficients. Pour un pourcentage inverse, on divise la valeur finale par le coefficient.
Lois des exposants – Un exposant indique combien de fois on multiplie une base par elle-même. Même base : multiplier → on additionne les exposants, diviser → on soustrait, puissance d'une puissance → on multiplie. a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ et a^(1/n) est la racine n-ième.
Mesures de dispersion : étendue, écart moyen, variance et écart type – La dispersion mesure l'étalement : à quelle distance les valeurs sont du centre. Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur. Écart moyen = distance moyenne à la moyenne (ou à la médiane). Variance = moyenne des carrés des distances à la moyenne. Écart type = √variance. Pour des données groupées, on utilise les mêmes idées en multipliant chaque terme par son effectif.
Nombres complexes et équations du second degré – Certaines équations comme x² + 1 = 0 n'ont aucune solution réelle, car aucun nombre réel n'a un carré négatif. On ajoute donc un nouveau nombre i tel que i² = −1. Un nombre complexe s'écrit z = a + ib : a est la partie réelle et b la partie imaginaire. On additionne, soustrait et multiplie les nombres complexes comme en algèbre, en remplaçant i² par −1. Pour diviser, on multiplie le haut et le bas par le conjugué. Dans le plan d'Argand, z = a + ib est le point (a, b). Le conjugué a − ib est son symétrique par rapport à l'axe réel, et le module √(a² + b²) est sa distance à l'origine. Toute équation ax² + bx + c = 0 avec D = b² − 4ac < 0 a deux racines complexes conjuguées l'une de l'autre.
Permutations et combinaisons – Ce chapitre apprend à compter sans tout lister. Le principe fondamental du comptage dit : si une tâche peut se faire de m façons et la suivante de n façons, les deux ensemble se font de m × n façons. n! (n factorielle) vaut 1 × 2 × … × n, avec 0! = 1. Une permutation est un rangement où l'ordre compte : le nombre de façons de ranger r objets pris parmi n objets différents est ⁿPᵣ = n!/(n − r)!. Une combinaison est un choix où l'ordre ne compte pas : ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!). Chaque choix de r objets peut être rangé de r! façons, donc ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!. Faits utiles : ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ et ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ. Quand des objets se répètent, on divise par la factorielle de chaque nombre de répétitions.
Polynômes : zéros et coefficients – Un polynôme comme ax² + bx + c a un degré (la plus grande puissance). Un zéro est une valeur de x qui donne 0. Sur un graphe, les zéros sont les abscisses des points où la courbe y = p(x) coupe l'axe des x. Un polynôme de degré n a au plus n zéros. Pour ax² + bx + c de zéros α et β : α + β = −b/a et αβ = c/a. Un trinôme de zéros donnés s'écrit k[x² − (α+β)x + αβ].
Probabilité conditionnelle, formule des probabilités composées et événements indépendants – La probabilité conditionnelle est la chance que A se réalise quand on sait déjà que B a eu lieu. On écarte tous les résultats hors de B et on recompte : P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B). En retournant la formule, on obtient la règle de multiplication P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B). Si savoir que B a eu lieu ne change pas la chance de A, les événements sont indépendants et P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
Probabilités : les chances d'un événement – La probabilité dit à quel point une chose est probable, par un nombre entre 0 et 1. Quand toutes les issues ont la même chance, P(événement) = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues. Un événement impossible a pour probabilité 0 et un événement certain a pour probabilité 1.
Rapports trigonométriques (sin, cos, tan) – Dans un triangle rectangle, choisis un angle aigu θ. Le côté en face de θ est le côté opposé, le côté qui touche θ (et qui n'est pas le plus long) est le côté adjacent, et le plus long côté est l'hypoténuse. sin θ = opposé/hypoténuse, cos θ = adjacent/hypoténuse, tan θ = opposé/adjacent. cosec, sec et cot sont leurs inverses. Ces rapports dépendent seulement de l'angle, pas de la taille du triangle. Apprends le tableau pour 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Relations et fonctions : produit cartésien, domaine, image, graphes – Un couple (a, b) a une première et une deuxième place, donc (1, 2) ≠ (2, 1). Le produit cartésien A × B est l'ensemble de tous les couples (a, b) avec a ∈ A et b ∈ B, et n(A × B) = n(A) × n(B). Une relation de A vers B est une partie quelconque de A × B ; son domaine est l'ensemble des premiers éléments et son image l'ensemble des seconds éléments, alors que B est l'ensemble d'arrivée. Une fonction est une relation particulière où chaque élément de A a exactement une image. Nous étudions les fonctions constante, identité, polynôme, rationnelle, valeur absolue, signe, exponentielle, logarithme et partie entière avec leurs graphes, et nous additionnons, soustrayons, multiplions et divisons des fonctions point par point.
Statistiques : poser une question, moyennes et barres empilées – Les statistiques commencent par une question qui a beaucoup de réponses possibles. On récolte des données, on les range, on les montre dans un graphique et on cherche un nombre qui les résume. La moyenne est le partage équitable, la médiane est la valeur du milieu et le mode est la valeur la plus fréquente. Une moyenne pondérée donne plus d'importance à certaines valeurs. Les diagrammes en barres empilées et empilées à 100 % montrent comment un tout se partage en parties.
Suites et progressions – Une suite est une liste de nombres rangés dans un ordre précis. On peut la décrire avec une règle récurrente (comment passer d'un terme au suivant) ou une règle explicite (une formule pour le terme de rang n). Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre. Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre. Les fractales et la tour de Hanoï sont des motifs amusants qui cachent ces règles.
Suites et séries : suite arithmétique, suite géométrique, moyennes – Une suite est une liste de nombres rangés dans un ordre précis : a₁, a₂, a₃, … Une série, c'est ce qu'on obtient en additionnant les termes. Dans une suite arithmétique (AP), on ajoute chaque fois le même nombre d ; aₙ = a + (n − 1)d et Sₙ = n/2[2a + (n − 1)d]. La moyenne arithmétique (AM) de a et b est (a + b)/2 ; pour insérer n moyennes arithmétiques entre a et b, on prend d = (b − a)/(n + 1). Dans une suite géométrique (GP), on multiplie chaque fois par le même nombre r ; aₙ = arⁿ⁻¹ et Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) pour r ≠ 1. Si |r| < 1, les termes rétrécissent et la somme infinie vaut S∞ = a/(1 − r). La moyenne géométrique (GM) de deux nombres positifs a et b est √(ab), et pour insérer n moyennes géométriques entre eux, on prend r = (b/a)^(1/(n+1)). Pour a et b positifs, AM ≥ GM, avec égalité seulement si a = b.
Système de deux équations linéaires à deux inconnues – Deux équations comme a₁x + b₁y = c₁ et a₂x + b₂y = c₂ donnent chacune une droite. La solution qui convient aux deux est le point où les droites se rencontrent. Des droites qui se croisent donnent une solution, des droites parallèles n'en donnent aucune, et des droites confondues en donnent une infinité. On peut trouver la solution en dessinant (graphique), par substitution ou par élimination.
Théorème de Pythagore – Dans un triangle rectangle, le carré construit sur le plus long côté (l'hypoténuse) a la même aire que les deux autres carrés réunis : a² + b² = c².
Triangles semblables – Deux figures sont semblables quand elles ont la même forme, mais pas forcément la même taille. Deux triangles sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels. Théorème de Thalès : une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés dans le même rapport ; la réciproque est vraie aussi. On peut prouver la similitude avec AA, SSS ou SAS.