Qu'est-ce qu'un exposant ?
Dans aⁿ, a est la base et n est l'exposant (on dit aussi l'indice ou la puissance). Cela veut dire que a est multiplié par lui-même n fois.
Exemple : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. On lit « 5 puissance 3 » ou « 5 au cube ».
Attention au signe : (−3)² = 9 mais −3² = −9, car sans parenthèses l'exposant ne concerne que le 3.
Les lois principales (même base)
- Produit : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (on compte tous les facteurs ensemble).
- Quotient : aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0 (les facteurs identiques se simplifient).
- Puissance d'une puissance : (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (n groupes de m facteurs).
- Puissance d'un produit : (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- Puissance d'un quotient : (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b ≠ 0.
Ces lois ne marchent que si les bases sont les mêmes (ou si les exposants sont les mêmes, pour les deux dernières). 2³ × 3² ne peut pas s'écrire comme une seule puissance.
Exposants nuls et négatifs (entiers)
Utilise la loi du quotient sur a⁵ ÷ a⁵. Le résultat doit être 1 (un nombre divisé par lui-même), et la loi donne a⁰. Donc a⁰ = 1 pour a ≠ 0.
Maintenant a² ÷ a⁵ = a⁻³, mais en simplifiant on obtient 1/a³. Donc a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 2⁻³ = 1/8.
Une astuce pratique : (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. On retourne la fraction et on rend l'exposant positif.
L'écriture scientifique utilise cela : 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴.
Exposants rationnels (fractionnaires) et réels
(a^(1/2))² = a^1 = a, donc a^(1/2) doit être √a. En général a^(1/n) = ⁿ√a et a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ pour a > 0.
Exemple : 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Prends d'abord la racine : les nombres restent petits.
Toutes les lois restent vraies pour les exposants rationnels. Pour un exposant irrationnel comme 2^√2, on s'approche de plus en plus avec 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414..., donc les lois s'étendent à tous les exposants réels (pour une base positive).
Équations exponentielles simples
Si deux puissances de même base sont égales, leurs exposants sont égaux : si aˣ = aʸ (a > 0, a ≠ 1) alors x = y.
Exemple : 3ˣ⁺¹ = 81 = 3⁴, donc x + 1 = 4 et x = 3.
Exemple : 4ˣ = 32. Écris les deux côtés comme puissances de 2 : 2²ˣ = 2⁵, donc 2x = 5 et x = 2.5.
Dans la vie réelle : des bactéries qui doublent chaque heure : N = 100 × 2ᵗ. Quand a-t-on N = 3200 ? 2ᵗ = 32 = 2⁵, donc t = 5 heures.
Formules et définitions clés
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
Exemples résolus
1. Simplifie 3⁴ × 3².
Même base, multiplier → on additionne : 3⁴⁺² = 3⁶ = 729.
2. Simplifie 7⁸ ÷ 7⁵.
Même base, diviser → on soustrait : 7⁸⁻⁵ = 7³ = 343.
3. Trouve la valeur de (2³)² × 2⁻⁴.
(2³)² = 2⁶. Ensuite 2⁶ × 2⁻⁴ = 2² = 4.
4. Calcule (2/5)⁻².
On retourne et on rend positif : (5/2)² = 25/4 = 6.25.
5. Calcule 27^(2/3) + 16^(−1/2).
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9. 16^(−1/2) = 1/√16 = 1/4. Total = 9.25.
6. Simplifie (x³y⁻²)² ÷ (x²y)⁻¹ et écris le résultat avec des exposants positifs.
(x³y⁻²)² = x⁶y⁻⁴. Diviser par (x²y)⁻¹ revient à multiplier par x²y. Donc x⁸y⁻³ = x⁸/y³.
7. Résous 2ˣ × 4 = 128.
4 = 2², 128 = 2⁷. Donc 2ˣ⁺² = 2⁷, x + 2 = 7, x = 5.
Erreurs fréquentes
- Multiplier les exposants dans un produit : 2³ × 2² vaut 2⁵, pas 2⁶.
- Multiplier les bases : 3² × 3⁴ vaut 3⁶, pas 9⁶.
- Croire qu'un exposant négatif rend la réponse négative : 5⁻² = 1/25, un nombre positif.
- Croire que a⁰ = 0 : tout nombre non nul puissance 0 vaut 1.