Pourquoi a-t-on besoin des nombres complexes ?
Élève au carré n'importe quel nombre réel : 3² = 9, (−3)² = 9, 0² = 0. Le résultat n'est jamais négatif. Donc x² = −1, ou x² + 1 = 0, n'a aucune solution réelle.
Les mathématiciens ont résolu ce problème en ajoutant un seul nouveau nombre, appelé iota et noté i, avec i² = −1. Ainsi √(−1) = i, et √(−9) = √9 · i = 3i.
Un nombre complexe est tout nombre z = a + ib où a et b sont réels. On appelle a la partie réelle, Re(z), et b la partie imaginaire, Im(z). Les nombres réels sont des nombres complexes avec b = 0 : on ne perd donc rien. Regarde l'étape 1 de la 3D : i est un quart de tour de 1.
Puissances de i
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. Ensuite, le motif se répète. Pour trouver iⁿ, divise n par 4 et utilise le reste : i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i. Exemple : i¹⁰² → 102 = 4 × 25 + 2, donc i¹⁰² = −1.
Attention : √a · √b = √(ab) n'est vrai que si a et b ne sont pas tous les deux négatifs. Par exemple √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6, et non √36 = 6.
Calcul avec les nombres complexes
- Égalité : a + ib = c + id seulement si a = c et b = d.
- Addition : (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). Elle est fermée, commutative et associative ; 0 est l'élément neutre et −z est l'opposé.
- Soustraction : (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
- Multiplication : on développe comme des parenthèses et on pose i² = −1 : (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). Elle est aussi commutative, associative et distributive sur l'addition ; 1 est l'élément neutre.
- Inverse : pour z = a + ib ≠ 0, z⁻¹ = (a − ib)/(a² + b²).
- Division : z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹. En pratique, on multiplie le haut et le bas par le conjugué du bas.
Les identités comme (z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² restent valables pour les nombres complexes.
Conjugué et module
Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib (on change le signe de la partie imaginaire). Le module est |z| = √(a² + b²). Faits utiles : z · z̄ = |z|², |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂, conj(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂.
Entre deux nombres complexes non réels, il n'y a pas de « plus grand » ni de « plus petit » : 2 + i > 1 + 3i n'a aucun sens. On ne peut comparer que leurs modules.
Le plan d'Argand
Trace deux axes perpendiculaires. L'axe horizontal est l'axe réel et l'axe vertical est l'axe imaginaire. Le nombre z = a + ib est le point (a, b). Ce dessin s'appelle le plan d'Argand (ou plan complexe).
- Les nombres réels (comme 4) sont sur l'axe réel ; les imaginaires purs (comme 3i) sont sur l'axe imaginaire.
- |z| est la distance du point à l'origine O, par Pythagore (étape 5 de la 3D).
- z̄ est le symétrique de z par rapport à l'axe réel.
- z₁ + z₂ est le quatrième sommet du parallélogramme formé par O, z₁ et z₂ (étape 3).
- Multiplier par i fait tourner le point de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de O (étape 4).
Équations du second degré à racines complexes
Pour ax² + bx + c = 0 (a, b, c réels), les racines sont x = (−b ± √D)/2a avec D = b² − 4ac.
- D > 0 : deux racines réelles différentes. D = 0 : deux racines réelles égales.
- D < 0 : √D = i√(−D), donc les racines sont x = (−b ± i√(−D))/2a. Elles sont complexes et forment toujours une paire de conjugués.
Exemple : x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Essaie en jeu libre.
Ce qui tombe à l'examen
L'algèbre vaut environ 25 points en Class 11. Dans ce chapitre, attends-toi à : puissances de i (1 point), écriture d'un quotient sous la forme a + ib (2 à 3 points), module, conjugué et inverse (2 points), et résolution d'équations du second degré avec D < 0 (2 à 3 points). Donne toujours la réponse finale sous la forme a + ib.
Formules et définitions clés
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
Exemples résolus
1. Trouve i⁵⁷ et i⁻³.
57 = 4 × 14 + 1, donc i⁵⁷ = i¹ = i. i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i. Multiplie le haut et le bas par i : −i/i² = −i/(−1) = i. Donc i⁻³ = i.
2. Simplifie (5 − 3i) + (−2 + 7i) et (5 − 3i) − (−2 + 7i).
Somme : partie réelle 5 + (−2) = 3, partie imaginaire −3 + 7 = 4, donc 3 + 4i. Différence : partie réelle 5 − (−2) = 7, partie imaginaire −3 − 7 = −10, donc 7 − 10i.
3. Multiplie (2 + 3i)(4 − i).
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i². Pose i² = −1 : 8 + 3 + 10i = 11 + 10i.
4. Trouve le module, le conjugué et l'inverse de z = 3 − 4i.
|z| = √(9 + 16) = 5. z̄ = 3 + 4i. z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i. Vérification : (3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1.
5. Écris (1 + 2i)/(3 − i) sous la forme a + ib.
Multiplie le haut et le bas par 3 + i. Bas : 9 + 1 = 10. Haut : (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. Réponse : 1/10 + (7/10)i.
6. Résous 2x² − 2x + 1 = 0.
a = 2, b = −2, c = 1. D = 4 − 8 = −4 < 0, donc √D = 2i. x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i. Les racines 1/2 + i/2 et 1/2 − i/2 sont conjuguées.
7. Trouve les réels x et y tels que (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i.
Deux nombres complexes égaux ont les mêmes parties : x + 2y = 5 et 2x − y = 5. De la seconde, y = 2x − 5. Alors x + 4x − 10 = 5, donc x = 3 et y = 1.
8. Si (a + ib)/(c + id) = x + iy, montre que (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y².
Prends le module des deux côtés : |a + ib|/|c + id| = |x + iy|. Donc √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²). En élevant au carré, on obtient le résultat.
Erreurs fréquentes
- Écrire i² = 1. C'est i² = −1 ; c'est toute la raison d'être de i.
- Utiliser √(−4)·√(−9) = √36 = 6. Quand les deux nombres sont négatifs, écris d'abord 2i · 3i = 6i² = −6.
- Diviser directement par un nombre complexe. Multiplie toujours le haut et le bas par le conjugué du bas.
- Dire que 3 + 2i > 1 + i. Les nombres complexes non réels ne peuvent pas être ordonnés ; compare plutôt les modules.