Qu'est-ce qu'une équation du second degré ? (forme standard)
Une équation du second degré est une équation où la plus grande puissance de x est 2. « Quad » veut dire carré.
Sa forme standard est ax² + bx + c = 0. Ici a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. Si a valait 0, la partie en x² disparaîtrait et l'équation serait du premier degré.
Commence toujours par mettre tous les termes du même côté. Exemple : 2x² = 3x − 1 devient 2x² − 3x + 1 = 0, donc a = 2, b = −3, c = 1.
Un nombre qui rend l'équation vraie s'appelle une racine (ou solution). Une équation du second degré a au plus deux racines.
Comment savoir si une équation est du second degré
Développe toutes les parenthèses et simplifie. Si la plus grande puissance de x qui reste est 2, c'est du second degré. Attention : (x + 1)² = x² + 3 se simplifie en 2x − 2 = 0, qui n'est pas du second degré, car le x² disparaît.
Résoudre par factorisation (couper le terme du milieu)
Pour ax² + bx + c = 0, cherche deux nombres dont le produit vaut a × c et dont la somme vaut b. Coupe le terme du milieu en ces deux nombres, regroupe, puis mets les facteurs communs en évidence.
Exemple : x² + 5x + 6 = 0. Il faut deux nombres de produit 6 et de somme 5 : ce sont 2 et 3.
x² + 2x + 3x + 6 = 0 → x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 → (x + 2)(x + 3) = 0.
Si deux nombres ont pour produit 0, au moins l'un des deux est 0. Donc x + 2 = 0 ou x + 3 = 0, ce qui donne x = −2 ou x = −3.
Les tuiles 3D montrent pourquoi cela marche : les pièces de x² + 5x + 6 s'assemblent exactement en un rectangle de côtés (x + 2) et (x + 3).
Résoudre avec la formule du second degré
Certaines équations ne se factorisent pas facilement. La formule du second degré marche toujours :
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Étapes : (1) écris a, b, c avec leurs signes ; (2) calcule D = b² − 4ac ; (3) si D ≥ 0, calcule √D ; (4) remplace dans la formule une fois avec + et une fois avec −.
D'où vient la formule ?
Elle vient de la complétion du carré. Divise par a : x² + (b/a)x + c/a = 0. Ajoute et retire (b/2a)² : (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Prends la racine carrée des deux côtés : x + b/2a = ±√(b² − 4ac)/2a. Passe b/2a de l'autre côté et tu obtiens la formule. Le ± apparaît parce qu'un nombre positif et un nombre négatif donnent le même carré.
Discriminant et nature des racines
La partie sous la racine, D = b² − 4ac, s'appelle le discriminant. « Discriminer » veut dire « distinguer » : D nous dit quel type de racines on obtient sans résoudre.
- D > 0 : deux racines réelles différentes. La courbe coupe l'axe des x en deux points.
- D = 0 : deux racines réelles égales, x = −b/2a. La courbe touche juste l'axe des x.
- D < 0 : aucune racine réelle, car aucun nombre réel au carré n'est négatif. La courbe reste loin de l'axe des x.
Question classique d'examen : « Trouve k pour que kx² + 6x + 1 = 0 ait des racines égales. » On pose D = 0 : 36 − 4k = 0, donc k = 9.
Problèmes avec des équations du second degré
Quatre étapes transforment n'importe quelle histoire en équation du second degré :
- Nomme l'inconnue : appelle-la x (dis ce que x représente et son unité).
- Écris les autres quantités avec x.
- Forme l'équation à partir de la condition, et mets-la sous la forme ax² + bx + c = 0.
- Résous et vérifie : écarte les réponses qui n'ont pas de sens (une longueur, un âge ou une vitesse négatifs).
Types courants : aire d'un rectangle, nombres consécutifs, âges, vitesse et temps (trains, bateaux dans un courant), et travail fait par deux personnes.
À essayer : le puzzle des tuiles à la maison
Découpe dans du papier 1 grand carré (côté 5 cm), 5 bandes (5 cm × 1 cm) et 6 petits carrés (1 cm). Ils représentent x², 5x et 6. Essaie de ranger les 12 pièces en un seul rectangle. Mesure ses côtés : l'un est x + 2, l'autre x + 3. Essaie maintenant x² + 7x + 12 (7 bandes, 12 petits carrés). Quel rectangle obtiens-tu ?
Dans la 3D plus haut, va à la dernière étape et devine d'abord : avec a = 1, b = 4, c = 4, combien de fois la courbe rencontrera-t-elle l'axe des x ? Puis bouge les curseurs et vérifie.
Ce qui tombe à l'examen
Ce chapitre fait partie de l'unité d'algèbre (environ 20 points). Attends-toi à : vérifier si une équation est du second degré (1 point), trouver k pour des racines égales ou la nature des racines (2 points), résoudre par factorisation ou avec la formule (2 à 3 points), et un problème (3 à 5 points, souvent sur la vitesse ou l'aire).
Formules et définitions clés
- Forme standard : ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
- Formule du second degré : x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- Discriminant : D = b² − 4ac
- D > 0 : deux racines réelles distinctes ; D = 0 : deux racines égales x = −b/2a ; D < 0 : aucune racine réelle
- Couper le terme du milieu : trouver p, q avec p × q = a × c et p + q = b
Exemples résolus
1. (x − 2)² + 1 = 2x − 3 est-elle une équation du second degré ?
Développe la parenthèse : x² − 4x + 4 + 1 = 2x − 3. Mets tout à gauche : x² − 6x + 8 = 0. La plus grande puissance est 2 et a = 1 ≠ 0, donc oui, c'est du second degré.
2. Résous x² − 7x + 12 = 0 par factorisation.
Il faut deux nombres de produit 12 et de somme −7 : −3 et −4. x² − 3x − 4x + 12 = 0 → x(x − 3) − 4(x − 3) = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0. Donc x = 3 ou x = 4.
3. Résous 2x² + x − 6 = 0 par factorisation.
a × c = 2 × (−6) = −12. Deux nombres de produit −12 et de somme 1 : 4 et −3. 2x² + 4x − 3x − 6 = 0 → 2x(x + 2) − 3(x + 2) = 0 → (x + 2)(2x − 3) = 0. Donc x = −2 ou x = 3/2.
4. Résous x² − 2x − 3 = 0 avec la formule du second degré.
a = 1, b = −2, c = −3. D = (−2)² − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16, √D = 4. x = (2 ± 4)/2. Donc x = 6/2 = 3 ou x = −2/2 = −1.
5. Trouve la nature des racines de 3x² − 4x + 2 = 0.
D = (−4)² − 4(3)(2) = 16 − 24 = −8. D < 0, donc l'équation n'a aucune racine réelle.
6. Trouve k pour que x² − kx + 9 = 0 ait deux racines égales.
Pour des racines égales, D = 0 : (−k)² − 4(1)(9) = 0 → k² = 36 → k = 6 ou k = −6.
7. La longueur d'un jardin rectangulaire est de 4 m de plus que sa largeur. Son aire est de 96 m². Trouve ses côtés.
Soit largeur = x m, longueur = x + 4 m. x(x + 4) = 96 → x² + 4x − 96 = 0 → (x + 12)(x − 8) = 0 → x = 8 ou x = −12. La largeur ne peut pas être négative, donc largeur = 8 m et longueur = 12 m.
8. Un train parcourt 360 km à vitesse constante. Si sa vitesse était de 10 km/h de plus, il mettrait 3 heures de moins. Trouve sa vitesse.
Soit vitesse = x km/h. Temps = 360/x. Alors 360/x − 360/(x + 10) = 3. Multiplie par x(x + 10) : 360(x + 10) − 360x = 3x(x + 10) → 3600 = 3x² + 30x → x² + 10x − 1200 = 0 → (x + 40)(x − 30) = 0. La vitesse ne peut pas être négative, donc elle vaut 30 km/h.
Erreurs fréquentes
- Oublier de mettre tous les termes du même côté avant de lire a, b, c. Dans x² = 5x − 6, b vaut −5 et c vaut 6, pas 5 et −6.
- Perdre le signe de b dans la formule. Si b = −3, alors −b = +3 et b² = 9 (pas −9).
- Diviser les deux côtés par x. Cela fait perdre la racine x = 0. Mets plutôt x en facteur.
- Garder des réponses impossibles dans les problèmes, comme une longueur ou un âge négatif. Vérifie toujours et rejette-les.