Qu'est-ce qu'une équation du premier degré à une inconnue ?
Une équation est une phrase qui dit que deux choses sont égales. Elle contient un signe égal (=).
Une variable (ou inconnue) est une lettre, comme x, qui représente un nombre qu'on ne connaît pas encore.
Une équation est du premier degré quand la variable est à la puissance 1. Donc 2x + 3 = 11 est du premier degré. Mais x² = 9 ne l'est pas.
La solution (ou racine) est le nombre qui rend les deux côtés égaux. Pour 2x + 3 = 11, la solution est x = 4.
Forme générale : ax + b = 0, avec a ≠ 0. Une équation du premier degré à une inconnue a exactement une solution.
La méthode de la balance
Imagine le signe égal comme le milieu d'une balance. Tu peux faire l'une de ces opérations des deux côtés et la balance reste à l'équilibre :
- ajouter le même nombre
- soustraire le même nombre
- multiplier par le même nombre
- diviser par le même nombre non nul
But : avoir x seul d'un côté.
Transposer (raccourci)
Déplacer un terme de l'autre côté en changeant son signe s'appelle transposer. C'est la méthode de la balance, écrite plus vite.
x + 7 = 12 → x = 12 − 7 = 5. (+7 est devenu −7.)
3x = 18 → x = 18 ÷ 3 = 6. (× 3 est devenu ÷ 3.)
Des équations plus difficiles
x des deux côtés
Rassemble tous les termes en x d'un côté et tous les nombres de l'autre. 5x − 4 = 2x + 11 → 5x − 2x = 11 + 4 → 3x = 15 → x = 5.
Parenthèses
Développe d'abord les parenthèses. 3(x − 2) = 12 → 3x − 6 = 12 → 3x = 18 → x = 6. Ou divise d'abord les deux côtés par 3 : x − 2 = 4 → x = 6.
Fractions
Multiplie les deux côtés par le PPCM des dénominateurs pour faire disparaître les fractions. x/2 + x/3 = 10 → multiplie par 6 → 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12.
Équations qui se ramènent au premier degré
(x + 1)/(x − 2) = 3/2. Produit en croix : 2(x + 1) = 3(x − 2) → 2x + 2 = 3x − 6 → x = 8. (x ne peut pas être 2, car on ne peut pas diviser par zéro.)
Cas particuliers
Si x disparaît et que tu obtiens une égalité vraie comme 4 = 4, tous les nombres conviennent (c'est une identité). Si tu obtiens une égalité fausse comme 4 = 7, il n'y a aucune solution.
Problèmes : de l'histoire à l'équation
- Lis bien. Qu'est-ce qui est inconnu ? Appelle-le x (écris : « Soit x = … »).
- Écris les autres quantités avec x.
- Trouve la phrase qui dit que deux choses sont égales. Écris l'équation.
- Résous.
- Vérifie la réponse dans l'histoire, et écris-la avec l'unité.
Exemple : un rectangle est plus long de 4 m que large. Son périmètre est 32 m. Soit largeur = x. Longueur = x + 4. 2(x + x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6. Largeur 6 m, longueur 10 m.
Types fréquents : âges, nombres consécutifs, périmètre, argent et pièces, vitesse–distance–temps, pourcentages.
Formules et définitions clés
- ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0)
- ax + b = c → x = (c − b)/a
- Transposer : + ↔ −, × ↔ ÷
- Supprimer les fractions : multiplier les deux côtés par le PPCM
- Vérification : remettre x dans les deux côtés
Exemples résolus
1. Résous x − 9 = 4.
Ajoute 9 des deux côtés : x = 4 + 9 = 13. Vérification : 13 − 9 = 4 ✓.
2. Résous 4x + 5 = 29.
Soustrais 5 : 4x = 24. Divise par 4 : x = 6. Vérification : 4 × 6 + 5 = 29 ✓.
3. Résous 7x − 3 = 4x + 12.
Soustrais 4x : 3x − 3 = 12. Ajoute 3 : 3x = 15. Divise par 3 : x = 5. Vérification : 32 = 32 ✓.
4. Résous 2(3x − 1) = 5(x + 2).
Développe : 6x − 2 = 5x + 10. Soustrais 5x : x − 2 = 10. Donc x = 12. Vérification : 2 × 35 = 70 et 5 × 14 = 70 ✓.
5. Résous x/4 − 1 = x/6.
Le PPCM de 4 et 6 est 12. Multiplie par 12 : 3x − 12 = 2x. Donc x = 12. Vérification : 3 − 1 = 2 ✓.
6. La somme de trois nombres consécutifs est 72. Trouve-les.
Appelons-les x, x + 1, x + 2. 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23. Les nombres : 23, 24, 25.
7. Une mère a 3 fois l'âge de son fils. Dans 12 ans, elle aura le double de son âge. Trouve leurs âges actuels.
Fils = x, mère = 3x. Dans 12 ans : 3x + 12 = 2(x + 12) → 3x + 12 = 2x + 24 → x = 12. Le fils a 12 ans, la mère 36 ans.
Erreurs fréquentes
- Faire une étape d'un seul côté. Si tu soustrais 3 à gauche, soustrais aussi 3 à droite.
- Oublier de changer le signe en transposant : x + 5 = 9 donne x = 9 − 5, pas 9 + 5.
- Multiplier seulement le premier terme dans une parenthèse : 3(x − 2) fait 3x − 6, pas 3x − 2.
- Supprimer les fractions mais oublier de multiplier aussi les nombres entiers : dans x/2 + 1 = 4, multiplier par 2 donne x + 2 = 8.