Qu'est-ce qu'une identité ?
Une équation comme 2x + 1 = 7 n'est vraie que pour x = 3. Une identité est vraie pour toutes les valeurs. Exemple : (x + 1)² = x² + 2x + 1. Essaie avec x = 5 : 36 = 25 + 10 + 1. ✓
Pour tester une identité, remplace les lettres par un nombre dans les deux membres. Pour la prouver, développe-la ou dessine-la.
Voir les identités comme des aires
Aire d'un rectangle = longueur × largeur. Un produit de deux parenthèses est donc une aire.
- (a + b)² = a² + 2ab + b² : un carré de côté a + b = un a², deux ab, un b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b² : dans a², on enlève deux bandes a×b. Le coin b² a été enlevé deux fois, on le remet une fois.
- a² − b² = (a + b)(a − b) : on découpe b² dans un coin de a². On déplace une pièce du L pour former un rectangle (a + b) sur (a − b).
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab : un rectangle de côtés x + a et x + b.
Factoriser avec les identités et les tuiles algébriques
Factoriser, c'est écrire une expression sous forme de produit. On lit l'identité de droite à gauche.
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (le premier et le dernier terme sont des carrés, le milieu est 2 × x × 5).
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12 : cherche deux nombres de somme 7 et de produit 12 → 3 et 4. Donc (x + 3)(x + 4).
Tuiles algébriques : prends un grand carré pour x², une bande pour chaque x et un petit carré pour chaque 1. Mets le x² dans un coin, les bandes le long de deux côtés et remplis le coin avec les unités. Si tout forme un rectangle parfait, ses côtés sont les facteurs.
Trouver de nouvelles identités
On peut fabriquer de nouvelles identités à partir des anciennes ou à partir de formes.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca : un carré de côté a + b + c a une grille 3 × 3 de 9 morceaux.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ : un cube de côté a + b se coupe en 8 blocs.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ : on remplace b par −b.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) et a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Si a + b + c = 0, alors a³ + b³ + c³ = 3abc.
Vérifie toujours une nouvelle identité avec des nombres, par exemple a = 2, b = 1.
Simplifier les fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est un polynôme divisé par un autre, comme (x² − 9)/(x + 3). Pour la simplifier, on factorise le haut et le bas, puis on simplifie les facteurs communs.
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, pour x ≠ −3.
Attention : on ne simplifie que des facteurs entiers, jamais des termes isolés. Et la valeur qui annule le dénominateur est interdite.
À toi de jouer : une activité pratique
Découpe du papier : un carré de 7 cm (a²), deux bandes de 7 cm × 3 cm (ab) et un carré de 3 cm (b²). Assemble-les en un grand carré. Mesure son côté : 10 cm. Vérifie 10² = 49 + 42 + 9 = 100. Ensuite, découpe 12 petits carrés unité et des bandes pour factoriser toi-même x² + 7x + 12.
Le coin de l'examen
Questions classiques : développer avec une identité ; calculer 99³ ou 104 × 96 sans multiplier directement ; factoriser x³ + 27 ou 8a³ − 27b³ ; utiliser a + b + c = 0 ; prouver une identité avec une figure ; simplifier une fraction rationnelle.
Formules et définitions clés
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Exemples résolus
1. Développer (2x + 3)².
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. Calculer 98² sans multiplication posée.
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. Calculer 104 × 96.
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
4. Factoriser x² + 5x + 6 avec des tuiles.
1 x², 5 bandes, 6 unités. Le rectangle a pour côtés x + 2 et x + 3. Vérification : 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. Donc (x + 2)(x + 3).
5. Développer (a + 2b − c)².
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. Factoriser 8x³ + 27.
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. Si a + b + c = 0, trouver a³ + b³ + c³ pour a = 5, b = −2, c = −3.
5 − 2 − 3 = 0, donc a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. Vérification : 125 − 8 − 27 = 90 ✓.
8. Simplifier (x² − 4x + 4)/(x² − 4).
Le haut = (x − 2)². Le bas = (x + 2)(x − 2). On simplifie (x − 2) : (x − 2)/(x + 2), pour x ≠ 2, −2.
Erreurs fréquentes
- Écrire (a + b)² = a² + b². Il manque les deux bandes ab : le terme du milieu 2ab est indispensable.
- Se tromper de signe dans (a − b)² : le dernier terme + b² est toujours positif.
- Simplifier des termes dans une fraction : (x + 3)/3 n'est pas égal à x. On ne simplifie que les facteurs communs.
- Oublier d'élever le coefficient au carré : (3x)² = 9x², et non 3x².