Che cos'è un'identità?
Un'equazione come 2x + 1 = 7 è vera solo per x = 3. Un'identità è vera per ogni valore. Esempio: (x + 1)² = x² + 2x + 1. Prova con x = 5: 36 = 25 + 10 + 1. ✓
Per controllare un'identità, metti lo stesso numero in entrambi i membri. Per dimostrarla, sviluppa i calcoli o disegnala.
Vedere le identità come aree
Area di un rettangolo = base × altezza. Quindi il prodotto di due parentesi è un'area.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²: un quadrato di lato a + b = un a², due ab, un b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b²: da a² togli due strisce a×b. L'angolo b² è stato tolto due volte, quindi lo rimetti una volta.
- a² − b² = (a + b)(a − b): taglia b² da un angolo di a². Sposta un pezzo della forma a L per ottenere un rettangolo (a + b) per (a − b).
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: rettangolo con lati x + a e x + b.
Scomposizione con le identità e con le tessere algebriche
Scomporre in fattori vuol dire scrivere un'espressione come prodotto. Leggi l'identità da destra a sinistra.
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (il primo e l'ultimo termine sono quadrati, quello di mezzo è 2 × x × 5).
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12: cerca due numeri con somma 7 e prodotto 12 → 3 e 4. Quindi (x + 3)(x + 4).
Tessere algebriche: prendi un quadrato grande per x², una striscia per ogni x e un quadratino per ogni 1. Metti x² in un angolo, le strisce lungo due lati e riempi l'angolo con le unità. Se formano un rettangolo perfetto, i suoi lati sono i fattori.
Trovare nuove identità
Possiamo costruire nuove identità partendo da quelle vecchie o dalle figure.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca: un quadrato di lato a + b + c ha una griglia 3 × 3 di 9 pezzi.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: un cubo di lato a + b si divide in 8 blocchi.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³: metti −b al posto di b.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) e a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Se a + b + c = 0 allora a³ + b³ + c³ = 3abc.
Controlla sempre una nuova identità con dei numeri, per esempio a = 2, b = 1.
Semplificare le frazioni algebriche
Una frazione algebrica è un polinomio diviso per un altro, come (x² − 9)/(x + 3). Per semplificarla, scomponi numeratore e denominatore, poi elimina i fattori comuni.
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, per x ≠ −3.
Ricorda: si semplificano solo fattori interi, mai singoli termini. E il valore che rende zero il denominatore non è ammesso.
Prova tu: un esperimento pratico
Ritaglia della carta: un quadrato di 7 cm di lato (a²), due strisce di 7 cm × 3 cm (ab) e un quadrato di 3 cm di lato (b²). Uniscili in un unico quadrato grande. Misura il suo lato: 10 cm. Controlla 10² = 49 + 42 + 9 = 100. Poi ritaglia 12 quadratini unitari e delle strisce per scomporre da solo x² + 7x + 12.
Angolo dell'esame
Domande tipiche: sviluppa usando un'identità; calcola 99³ o 104 × 96 senza moltiplicare direttamente; scomponi x³ + 27 o 8a³ − 27b³; usa a + b + c = 0; dimostra un'identità con una figura; semplifica una frazione algebrica.
Formule e definizioni chiave
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Esempi svolti
1. Sviluppa (2x + 3)².
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. Trova 98² senza fare la moltiplicazione in colonna.
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. Trova 104 × 96.
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
4. Scomponi x² + 5x + 6 con le tessere.
1 x², 5 strisce, 6 unità. Il rettangolo ha lati x + 2 e x + 3. Controllo: 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. Quindi (x + 2)(x + 3).
5. Sviluppa (a + 2b − c)².
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. Scomponi 8x³ + 27.
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. Se a + b + c = 0, trova a³ + b³ + c³ per a = 5, b = −2, c = −3.
5 − 2 − 3 = 0, quindi a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. Controllo: 125 − 8 − 27 = 90 ✓.
8. Semplifica (x² − 4x + 4)/(x² − 4).
Numeratore = (x − 2)². Denominatore = (x + 2)(x − 2). Elimina (x − 2): (x − 2)/(x + 2), per x ≠ 2, −2.
Errori comuni
- Scrivere (a + b)² = a² + b². Mancano le due strisce ab: serve il termine di mezzo 2ab.
- Sbagliare il segno in (a − b)²: l'ultimo termine + b² è sempre positivo.
- Semplificare i termini nelle frazioni: (x + 3)/3 non è x. Si semplificano solo i fattori comuni.
- Dimenticare di elevare al quadrato il coefficiente: (3x)² = 9x², non 3x².