¿Qué es una identidad?
Una ecuación como 2x + 1 = 7 solo es cierta para x = 3. Una identidad es cierta para todos los valores. Ejemplo: (x + 1)² = x² + 2x + 1. Prueba con x = 5: 36 = 25 + 10 + 1. ✓
Para comprobar una identidad, pon cualquier número en los dos lados. Para demostrarla, desarrolla o dibuja.
Las identidades como áreas
Área de un rectángulo = largo × ancho. Por eso, el producto de dos paréntesis es un área.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²: un cuadrado de lado a + b = un a², dos ab y un b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b²: a a² le quitamos dos tiras de a×b. La esquina b² se quitó dos veces, así que la sumamos una vez.
- a² − b² = (a + b)(a − b): corta b² de una esquina de a². Mueve una pieza de la forma de L para hacer un rectángulo (a + b) por (a − b).
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: rectángulo de lados x + a y x + b.
Factorizar con identidades y fichas algebraicas
Factorizar es escribir una expresión como un producto. Lee la identidad de derecha a izquierda.
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (el primero y el último son cuadrados, el del medio es 2 × x × 5).
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12: busca dos números que sumen 7 y multipliquen 12 → 3 y 4. Entonces (x + 3)(x + 4).
Fichas algebraicas: toma un cuadrado grande para x², una tira por cada x y un cuadradito por cada 1. Pon el x² en una esquina, las tiras a lo largo de dos lados y rellena la esquina con unidades. Si forman un rectángulo perfecto, sus lados son los factores.
Cómo encontrar identidades nuevas
Podemos construir identidades nuevas a partir de otras o de figuras.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca: un cuadrado de lado a + b + c tiene una cuadrícula de 3 × 3 con 9 piezas.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: un cubo de lado a + b se divide en 8 bloques.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³: pon −b en lugar de b.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) y a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Si a + b + c = 0, entonces a³ + b³ + c³ = 3abc.
Comprueba siempre una identidad nueva con números, por ejemplo a = 2, b = 1.
Simplificar fracciones algebraicas
Una fracción algebraica (expresión racional) es un polinomio dividido entre otro, como (x² − 9)/(x + 3). Para simplificar, factoriza el numerador y el denominador, y luego cancela los factores comunes.
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, para x ≠ −3.
Recuerda: cancela solo factores completos, nunca términos sueltos. Y el valor que hace cero el denominador no está permitido.
Practica: una actividad con papel
Recorta papel: un cuadrado de 7 cm (a²), dos tiras de 7 cm × 3 cm (ab) y un cuadrado de 3 cm (b²). Únelos en un cuadrado grande. Mide su lado: 10 cm. Comprueba 10² = 49 + 42 + 9 = 100. Después recorta 12 cuadritos de unidad y tiras para factorizar tú mismo x² + 7x + 12.
Rincón del examen
Preguntas típicas: desarrollar con una identidad; calcular 99³ o 104 × 96 sin multiplicar directamente; factorizar x³ + 27 o 8a³ − 27b³; usar a + b + c = 0; demostrar una identidad con una figura; simplificar una fracción algebraica.
Fórmulas y definiciones clave
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Ejemplos resueltos
1. Desarrolla (2x + 3)².
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. Calcula 98² sin hacer la multiplicación larga.
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. Calcula 104 × 96.
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
4. Factoriza x² + 5x + 6 con fichas.
1 x², 5 tiras, 6 unidades. El rectángulo tiene lados x + 2 y x + 3. Comprobación: 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. Entonces (x + 2)(x + 3).
5. Desarrolla (a + 2b − c)².
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. Factoriza 8x³ + 27.
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. Si a + b + c = 0, halla a³ + b³ + c³ para a = 5, b = −2, c = −3.
5 − 2 − 3 = 0, así que a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. Comprobación: 125 − 8 − 27 = 90 ✓.
8. Simplifica (x² − 4x + 4)/(x² − 4).
Numerador = (x − 2)². Denominador = (x + 2)(x − 2). Cancela (x − 2): (x − 2)/(x + 2), para x ≠ 2, −2.
Errores comunes
- Escribir (a + b)² = a² + b². Faltan las dos tiras ab: se necesita el término del medio 2ab.
- Equivocarse con el signo en (a − b)²: el último término + b² siempre es positivo.
- Cancelar términos en las fracciones: (x + 3)/3 no es x. Cancela solo factores comunes.
- Olvidar elevar al cuadrado el coeficiente: (3x)² = 9x², no 3x².