Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma ax + by = c. Aquí x e y son números desconocidos (las incógnitas). a, b y c son números fijos, y a y b no son cero a la vez.

"Lineal" quiere decir que su gráfica es una recta. Una sola ecuación así tiene infinitas respuestas. Dos ecuaciones sobre las mismas x e y forman un sistema. Buscamos el único (x, y) que hace verdaderas las dos a la vez.

Gráfica de una ecuación lineal

Toma una regla, como 2x + y = 6. Tiene muchas respuestas. Cada respuesta es un par (x, y).

1. Elige una x fácil, como 0. Entonces y = 6. Punto (0, 6).
2. Elige x = 3. Entonces y = 0. Punto (3, 0).
3. Elige uno más para comprobar, x = 1. Entonces y = 4. Punto (1, 4).
4. Marca los puntos y únelos con una regla.

Todos los puntos quedan sobre una recta. Cada punto de la recta es una respuesta. Un punto fuera de la recta no lo es. Mira el paso 1 del 3D: los puntos de x + y = 5 están todos alineados.

Rectas especiales: x = 2 es una recta vertical. y = 3 es una recta horizontal. y = 2x pasa por (0, 0).

Forma pendiente-ordenada: y = mx + c

Podemos reescribir cualquier recta (con b ≠ 0) dejando y sola: y = mx + c.

• m es la pendiente. La pendiente mide lo inclinada que está la recta. Cuando x sube 1, y sube m.
• c es la ordenada al origen. Es donde la recta corta el eje y, en el punto (0, c).

Ejemplo: 2x + y = 6 se convierte en y = −2x + 6. Pendiente −2: la recta baja 2 por cada 1 paso a la derecha. Corta el eje y en 6.

Por qué ayuda: dos rectas con la misma pendiente pero distinta c son paralelas (no hay respuesta). Misma pendiente y misma c es la misma recta. Pendientes distintas significa que las rectas se cruzan una vez. En el paso de juego libre, cambia la recta verde y mira su pendiente y su ordenada.

Método gráfico

Paso 1. Para cada ecuación, haz una tablita: elige 2 o 3 valores de x y calcula y.

Paso 2. Marca los puntos y únelos con una regla. Obtienes dos rectas.

Paso 3. Lee dónde se encuentran las rectas. Ese punto (x, y) es la solución.

Ejemplo: x + y = 5 da (0,5), (5,0). x − y = 1 da (1,0), (3,2). Las rectas se encuentran en (3, 2), así que x = 3, y = 2. Pruébalo en el 3D de arriba (pasos 1 a 3).

Tres imágenes posibles: compatibilidad

• Las rectas se cruzan → exactamente una solución. El sistema es compatible (determinado).
• Las rectas son paralelas → ninguna solución. El sistema es incompatible.
• Las rectas coinciden (una encima de la otra) → infinitas soluciones. El sistema es compatible e indeterminado (dependiente).

Criterio de las razones, sin dibujar

Para a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂, compara las razones:

• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → las rectas se cruzan → una solución.
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → paralelas → ninguna solución.
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → la misma recta → infinitas.

¿Por qué? Si a y b están en la misma razón, las rectas se inclinan igual (misma pendiente). Entonces c decide si son la misma recta o solo van una al lado de la otra.

Método de sustitución

"Sustituir" significa "poner en lugar de".

1. En una ecuación, escribe una incógnita en función de la otra. Ejemplo: x − y = 1 da x = y + 1.
2. Ponla en la otra ecuación: (y + 1) + y = 5, así que 2y = 4, y = 2.
3. Vuelve a poner y: x = 2 + 1 = 3.
4. Comprueba en las dos ecuaciones: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓.

Si la incógnita desaparece y queda algo siempre verdadero (como 0 = 0), hay infinitas soluciones. Si queda algo falso (como 0 = 3), no hay solución.

Método de reducción (eliminación)

"Eliminar" significa "quitar".

1. Multiplica una o las dos ecuaciones para que una incógnita tenga el mismo número delante (el mismo coeficiente).
2. Suma o resta las ecuaciones. Esa incógnita desaparece.
3. Resuelve la ecuación sencilla que queda.
4. Vuelve a poner el valor para hallar la otra incógnita y comprueba.

Ejemplo: x + y = 5 y x − y = 1. Sumándolas: 2x = 6, así que x = 3; luego y = 2. En el paso de juego libre del 3D, el botón muestra esto línea por línea para cualquier sistema que crees.

Problemas con enunciado

Cuatro pasos convierten una historia en matemáticas:

1. Nombra las dos incógnitas: "Sea ₹x el precio de un bolígrafo y ₹y el de un cuaderno".
2. Escribe una ecuación por cada dato de la historia.
3. Resuelve por sustitución o por reducción.
4. Comprueba que la respuesta tenga sentido (precios positivos, edades enteras) y responde con palabras.

Tipos comunes: precios, edades, números de dos cifras, fracciones, velocidad de un bote y de la corriente, cuota fija más precio por unidad, y ángulos o lados de una figura.

Pruébalo: un experimento en la cocina

Pide a alguien en casa que piense en secreto dos números. Pregunta solo por su suma y su diferencia. Escribe x + y = suma y x − y = diferencia. Suma las dos ecuaciones: 2x = suma + diferencia. Halla x y luego y. ¡Sorpréndelo! Después, en el juego libre del 3D, pon la recta verde como x − y = tu diferencia y mira cómo se mueve el punto de encuentro.

Fórmulas y definiciones clave

• Una ecuación ax + by = c: su gráfica es una recta; cada punto de ella es una solución
• Forma pendiente-ordenada: y = mx + c (m = pendiente, c = ordenada al origen)
• Pendiente de ax + by = c: m = −a/b, ordenada c/b
• Forma general: a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂
• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → una solución (rectas secantes, compatible)
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → ninguna solución (paralelas, incompatible)
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → infinitas (coincidentes, indeterminado)
• Sustitución: despeja una incógnita y ponla en la otra ecuación
• Reducción: iguala coeficientes, suma o resta

Ejemplos resueltos

Errores comunes

• Olvidar multiplicar todos los términos (incluido el número del lado derecho) al igualar coeficientes.
• Sumar cuando hay que restar: resta si los coeficientes tienen el mismo signo, suma si tienen signos opuestos.
• Confundir los casos: razones de a y b iguales significan paralelas o la misma recta, nunca una sola solución.
• Parar al hallar una incógnita, o no comprobar la respuesta en las dos ecuaciones.