¿Qué es una función lineal?
Una función es una regla que da exactamente una salida por cada entrada. A la entrada la llamamos x y a la salida y (o f(x)).
Una función es lineal cuando y cambia en la misma cantidad cada vez que x sube 1. Ese cambio fijo se llama tasa de cambio.
Toda función lineal se puede escribir como y = mx + c. Algunos libros escriben f(x) = mx + b o y = ax + b. Significan lo mismo.
- Cuando c = 0, la función es y = mx. Su recta pasa por el origen (0, 0). Es una proporcionalidad directa.
- Cuando c no es 0, algunos libros la llaman función afín.
Tablas, gráficas y reglas
Una misma función lineal se puede mostrar de cuatro maneras:
- Con palabras: "duplica el número y luego suma 1".
- Con una regla: y = 2x + 1.
- Con una tabla: x = 0, 1, 2, 3 da y = 1, 3, 5, 7. Los valores de y suben de 2 en 2.
- Con una gráfica: marca (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) y únelos. Obtienes una recta.
Prueba con una tabla: si x sube en pasos iguales y las diferencias de y son todas iguales, la función es lineal.
Pendiente e intersecciones
Pendiente m
m = subida ÷ avance = (cambio en y) ÷ (cambio en x) = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- m > 0: la recta sube de izquierda a derecha (creciente).
- m < 0: la recta baja (decreciente).
- m = 0: la recta es horizontal, y = c (función constante).
- Cuanto mayor es |m|, más empinada es la recta.
Intersecciones con los ejes
Ordenada al origen (corte con el eje y): pon x = 0, así y = c. El punto es (0, c).
Corte con el eje x (el cero o raíz): pon y = 0 y resuelve 0 = mx + c, así x = −c ÷ m.
Rectas paralelas
Las rectas con la misma pendiente nunca se cruzan: son paralelas.
Hallar la regla y resolver problemas reales
A partir de dos puntos: calcula m con la fórmula de la pendiente y luego pon uno de los puntos en y = mx + c para hallar c.
A partir de una historia: la cantidad fija del inicio es c (valor inicial); la cantidad por unidad es m (tasa).
¿Es lineal o no? y = 3x − 4 es lineal. y = x², y = 1/x y y = 2ˣ no lo son: sus gráficas se curvan y las diferencias de y no son iguales.
Resolver: para saber cuándo una función lineal llega a un valor, iguala y a ese valor y resuelve la ecuación. Dos rectas se cruzan donde las dos reglas dan el mismo y.
Fórmulas y definiciones clave
- y = mx + c (f(x) = mx + b)
- m = subida ÷ avance = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- Ordenada al origen: (0, c)
- Corte con el eje x: x = −c ÷ m
- Rectas paralelas: misma m
- Proporcionalidad directa: y = mx (c = 0)
Ejemplos resueltos
1. Para y = 3x − 2, haz una tabla con x = 0, 1, 2, 3.
x = 0: y = −2. x = 1: y = 1. x = 2: y = 4. x = 3: y = 7. Los valores de y suben de 3 en 3, y ese 3 es la pendiente.
2. Halla la pendiente y la ordenada al origen de y = −4x + 9.
Compara con y = mx + c: m = −4 (la recta baja), c = 9, así que corta el eje y en (0, 9).
3. Halla la pendiente de la recta que pasa por (1, 3) y (4, 12).
m = (12 − 3) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3.
4. Halla la ecuación de la recta que pasa por (2, 5) y (6, 13).
Paso 1: m = (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. Paso 2: pon (2, 5) en y = 2x + c: 5 = 4 + c, así que c = 1. Respuesta: y = 2x + 1.
5. Halla el corte con el eje x de y = 4x − 10.
Pon y = 0: 0 = 4x − 10, así 4x = 10 y x = 2.5. La recta corta el eje x en (2.5, 0).
6. Un taxi cobra 50 fijos más 12 por km. Escribe la regla y calcula el costo de 8 km. ¿Hasta dónde puedes llegar con 170?
Costo y = 12x + 50. Para 8 km: 12 × 8 + 50 = 146. Para 170: 12x + 50 = 170, 12x = 120, x = 10 km.
7. El plan A cuesta 100 + 5 por GB; el plan B cuesta 20 por GB. ¿Cuándo cuestan lo mismo?
100 + 5x = 20x, así 100 = 15x y x ≈ 6.67 GB. Por debajo de ese valor B es más barato; por encima, A es más barato.
Errores comunes
- Escribir la pendiente como avance ÷ subida. Es subida ÷ avance: el cambio en y va arriba.
- Mezclar el orden: (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂). Toma las dos diferencias en el mismo orden.
- Creer que c es donde la recta corta el eje x. c es la ordenada al origen (eje y); el corte con el eje x es −c ÷ m.
- Llamar lineal a y = x² solo porque tiene x. Una regla lineal tiene x solo elevada a la potencia 1 y da una recta.