Qu'est-ce qu'une fonction affine ?
Une fonction est une règle qui donne exactement une sortie pour chaque entrée. On appelle l'entrée x et la sortie y (ou f(x)).
Une fonction est affine quand y change de la même quantité chaque fois que x augmente de 1. Ce changement fixe s'appelle le taux de variation.
Toute fonction affine s'écrit y = mx + c. Certains livres écrivent f(x) = mx + b ou y = ax + b. C'est la même chose.
- Quand c = 0, la fonction est y = mx. Sa droite passe par l'origine (0, 0). C'est la proportionnalité directe (on dit aussi fonction linéaire).
- Quand c n'est pas 0, on parle de fonction affine.
Tableaux, graphiques et règles
Une même fonction affine peut se montrer de quatre façons :
- En mots : "doubler le nombre, puis ajouter 1".
- Règle : y = 2x + 1.
- Tableau : x = 0, 1, 2, 3 donne y = 1, 3, 5, 7. Les valeurs de y augmentent de 2 à chaque fois.
- Graphique : place (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) et relie-les. Tu obtiens une droite.
Test avec un tableau : si x augmente par pas égaux et que les écarts de y sont tous égaux, la fonction est affine.
Pente et points d'intersection
La pente m
m = montée ÷ avancée = (variation de y) ÷ (variation de x) = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- m > 0 : la droite monte de gauche à droite (fonction croissante).
- m < 0 : la droite descend (fonction décroissante).
- m = 0 : la droite est plate, y = c (fonction constante).
- Plus |m| est grand, plus la droite est raide.
Intersections avec les axes
Ordonnée à l'origine : pose x = 0, donc y = c. Le point est (0, c).
Abscisse à l'origine (le zéro ou la racine) : pose y = 0 et résous 0 = mx + c, donc x = −c ÷ m.
Droites parallèles
Deux droites de même pente ne se rencontrent jamais : elles sont parallèles.
Trouver la règle et résoudre des problèmes
À partir de deux points : trouve m avec la formule de la pente, puis mets un point dans y = mx + c pour trouver c.
À partir d'une histoire : la somme fixe de départ est c (valeur initiale) ; la somme par unité est m (le taux).
Affine ou pas ? y = 3x − 4 est affine. y = x², y = 1/x et y = 2ˣ ne le sont pas : leurs graphiques sont courbes et les écarts de y ne sont pas égaux.
Résoudre : pour savoir quand une fonction affine atteint une valeur, pose y égal à cette valeur et résous l'équation. Deux droites se croisent là où les deux règles donnent le même y.
Formules et définitions clés
- y = mx + c (f(x) = mx + b)
- m = montée ÷ avancée = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- Ordonnée à l'origine : (0, c)
- Abscisse à l'origine : x = −c ÷ m
- Droites parallèles : même m
- Proportionnalité directe : y = mx (c = 0)
Exemples résolus
1. Pour y = 3x − 2, fais un tableau pour x = 0, 1, 2, 3.
x = 0 : y = −2. x = 1 : y = 1. x = 2 : y = 4. x = 3 : y = 7. Les valeurs de y augmentent de 3 à chaque fois : c'est la pente.
2. Trouve la pente et l'ordonnée à l'origine de y = −4x + 9.
Compare avec y = mx + c : m = −4 (la droite descend), c = 9, donc elle coupe l'axe des y en (0, 9).
3. Trouve la pente de la droite passant par (1, 3) et (4, 12).
m = (12 − 3) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3.
4. Trouve l'équation de la droite passant par (2, 5) et (6, 13).
Étape 1 : m = (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. Étape 2 : mets (2, 5) dans y = 2x + c : 5 = 4 + c, donc c = 1. Réponse : y = 2x + 1.
5. Trouve l'abscisse à l'origine de y = 4x − 10.
Pose y = 0 : 0 = 4x − 10, donc 4x = 10 et x = 2.5. La droite coupe l'axe des x en (2.5, 0).
6. Un taxi fait payer 50 fixes plus 12 par km. Écris la règle et trouve le prix pour 8 km. Quelle distance peut-on faire pour 170 ?
Prix y = 12x + 50. Pour 8 km : 12 × 8 + 50 = 146. Pour 170 : 12x + 50 = 170, 12x = 120, x = 10 km.
7. Le forfait A coûte 100 + 5 par Go ; le forfait B coûte 20 par Go. Quand coûtent-ils pareil ?
100 + 5x = 20x, donc 100 = 15x et x ≈ 6.67 Go. En dessous, B est moins cher ; au-dessus, A est moins cher.
Erreurs fréquentes
- Écrire la pente comme avancée ÷ montée. C'est montée ÷ avancée : la variation de y est en haut.
- Mélanger l'ordre : (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂). Prends les deux différences dans le même ordre.
- Croire que c est l'endroit où la droite coupe l'axe des x. c est l'ordonnée à l'origine ; l'abscisse à l'origine est −c ÷ m.
- Dire que y = x² est affine parce qu'il y a un x. Une règle affine a x seulement à la puissance 1 et donne une droite.