Che cos'è una funzione lineare?
Una funzione è una regola che dà esattamente un risultato per ogni valore in ingresso. Chiamiamo l'ingresso x e il risultato y (o f(x)).
Una funzione è lineare quando y cambia della stessa quantità ogni volta che x aumenta di 1. Questo cambiamento fisso è la variazione costante (tasso di variazione).
Ogni funzione lineare si può scrivere come y = mx + c. Alcuni libri scrivono f(x) = mx + b, y = ax + b o y = mx + q. Significano la stessa cosa.
- Quando c = 0, la funzione è y = mx. La sua retta passa per l'origine (0, 0). Questa è la proporzionalità diretta.
- Quando c non è 0, alcuni libri la chiamano funzione affine.
Tabelle, grafici e regole
Una stessa funzione lineare si può mostrare in quattro modi:
- A parole: "raddoppia il numero, poi aggiungi 1".
- Regola: y = 2x + 1.
- Tabella: x = 0, 1, 2, 3 dà y = 1, 3, 5, 7. I valori di y aumentano di 2 ogni volta.
- Grafico: disegna (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) e uniscili. Ottieni una retta.
Test con la tabella: se x aumenta a passi uguali e le differenze di y sono tutte uguali, la funzione è lineare.
Pendenza e intercette
Pendenza m
m = salita ÷ spostamento = (variazione di y) ÷ (variazione di x) = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- m > 0: la retta sale da sinistra a destra (crescente).
- m < 0: la retta scende (decrescente).
- m = 0: la retta è piatta, y = c (funzione costante).
- Più grande è |m|, più la retta è ripida.
Intercette
Intercetta con l'asse y: poni x = 0, quindi y = c. Il punto è (0, c).
Intercetta con l'asse x (lo zero o radice): poni y = 0 e risolvi 0 = mx + c, quindi x = −c ÷ m.
Rette parallele
Rette con la stessa pendenza non si incontrano mai: sono parallele.
Trovare la regola e risolvere problemi reali
Da due punti: trova m con la formula della pendenza, poi inserisci un punto in y = mx + c per trovare c.
Da un problema a parole: la quantità fissa di partenza è c (valore iniziale); la quantità per ogni unità è m (tasso).
Lineare o no? y = 3x − 4 è lineare. y = x², y = 1/x e y = 2ˣ non lo sono: i loro grafici si curvano e le differenze di y non sono uguali.
Risolvere: per sapere quando una funzione lineare raggiunge un valore, poni y uguale a quel valore e risolvi l'equazione. Due rette si incrociano dove le due regole danno lo stesso y.
Formule e definizioni chiave
- y = mx + c (f(x) = mx + b)
- m = salita ÷ spostamento = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- intercetta con y: (0, c)
- intercetta con x: x = −c ÷ m
- Rette parallele: stesso m
- Proporzionalità diretta: y = mx (c = 0)
Esempi svolti
1. Per y = 3x − 2, costruisci una tabella per x = 0, 1, 2, 3.
x = 0: y = −2. x = 1: y = 1. x = 2: y = 4. x = 3: y = 7. I valori di y aumentano di 3 ogni volta: è la pendenza.
2. Trova la pendenza e l'intercetta con l'asse y di y = −4x + 9.
Confronta con y = mx + c: m = −4 (la retta scende), c = 9, quindi taglia l'asse y in (0, 9).
3. Trova la pendenza della retta che passa per (1, 3) e (4, 12).
m = (12 − 3) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3.
4. Trova l'equazione della retta che passa per (2, 5) e (6, 13).
Passo 1: m = (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. Passo 2: metti (2, 5) in y = 2x + c: 5 = 4 + c, quindi c = 1. Risposta: y = 2x + 1.
5. Trova l'intercetta con l'asse x di y = 4x − 10.
Poni y = 0: 0 = 4x − 10, quindi 4x = 10 e x = 2.5. La retta taglia l'asse x in (2.5, 0).
6. Un taxi fa pagare 50 fissi più 12 al km. Scrivi la regola e trova il costo per 8 km. Quanta strada puoi fare con 170?
Costo y = 12x + 50. Per 8 km: 12 × 8 + 50 = 146. Per 170: 12x + 50 = 170, 12x = 120, x = 10 km.
7. Il piano A costa 100 + 5 per GB; il piano B costa 20 per GB. Quando costano uguale?
100 + 5x = 20x, quindi 100 = 15x e x ≈ 6.67 GB. Sotto questo valore conviene B; sopra conviene A.
Errori comuni
- Scrivere la pendenza come spostamento ÷ salita. È salita ÷ spostamento: la variazione di y va in alto.
- Mescolare l'ordine: (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂). Fai le due differenze nello stesso ordine.
- Pensare che c sia il punto in cui la retta taglia l'asse x. c è l'intercetta con l'asse y; quella con l'asse x è −c ÷ m.
- Chiamare lineare y = x² solo perché contiene x. Una regola lineare ha x solo alla potenza 1 e dà una retta.