Lezioni di Maths

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Applicazioni delle derivate – La derivata misura quanto in fretta una grandezza cambia rispetto a un'altra. Il suo segno dice se una funzione sale (f′ > 0, crescente) o scende (f′ < 0, decrescente). Dove f′ = 0 la tangente è orizzontale: questi punti critici possono essere un massimo o un minimo locale, che si riconoscono con il test della derivata prima (cambio di segno) o della derivata seconda (segno di f″). Così si risolvono problemi reali, come la scatola più grande o il serbatoio più economico.
Continuità e derivabilità – Una funzione è continua in un punto quando il suo grafico lì non ha interruzioni: il limite da sinistra, il limite da destra e il valore della funzione sono uguali. La derivata è la pendenza della retta tangente. Con la regola della catena, la derivazione implicita, le regole per eˣ, ln x e le funzioni trigonometriche inverse, la derivazione logaritmica e le forme parametriche puoi derivare quasi ogni funzione di quinta superiore. La derivata seconda dice come cambia la pendenza stessa, cioè come si piega la curva.
Equazioni di primo grado a un'incognita – Un'equazione di primo grado a un'incognita ha una sola lettera sconosciuta (come x) con esponente 1, per esempio 2x + 3 = 11. Un'equazione è come una bilancia: i due lati sono uguali. Per risolverla, fai la stessa operazione su entrambi i lati (aggiungi, sottrai, moltiplica o dividi per lo stesso numero diverso da zero) finché x resta da sola. Controlla sempre rimettendo il risultato nell'equazione.
Funzioni esponenziali – Una funzione esponenziale ha la forma y = a·bˣ, dove a ≠ 0 è il valore iniziale e b > 0, b ≠ 1 è il fattore di crescita. Se b > 1 la funzione cresce; se 0 < b < 1 decresce. Ogni volta che x aumenta di 1, y viene moltiplicato per b (rapporto costante), mentre in una funzione lineare si aggiunge una quantità costante. Il grafico di y = bˣ passa per (0, 1), ha come dominio tutti i numeri reali, come codominio y > 0 e l'asse x come asintoto orizzontale. La forma generale y = a·b^(k(x − d)) + c lo allunga, lo ribalta e lo sposta.
Funzioni lineari – Una funzione lineare aggiunge sempre la stessa quantità a y ogni volta che x aumenta di 1. La sua regola è y = mx + c (in Italia spesso si scrive y = mx + q). m è la pendenza: salita ÷ spostamento, cioè quanto cambia y per ogni passo di 1 in x. c è l'intercetta con l'asse y: il valore di y quando x = 0. Il suo grafico è sempre una retta.
Geometria analitica: distanza e divisione di un segmento – Ogni punto di un piano ha un indirizzo (x, y). La distanza tra A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) è d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]: è solo Pitagora applicato allo scarto in x e allo scarto in y. Un punto P che divide AB internamente nel rapporto m : n è P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)). Quando m = n, P è il punto medio.
I logaritmi – Un logaritmo ti dice l'esponente che serve. log_b x = y significa b^y = x. Quindi log₂ 8 = 3 perché 2³ = 8. I logaritmi trasformano la moltiplicazione in addizione: log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b, log(aⁿ) = n log a. La base 10 dà il logaritmo decimale, la base e il logaritmo naturale (ln). Si può cambiare base: log_b x = log x ÷ log b.
Integrali – L'integrazione annulla la derivazione: se F′(x) = f(x), allora ∫f(x) dx = F(x) + C. Si integra con le formule notevoli, con la sostituzione (si sostituisce una parte interna con u), con i fratti semplici (si spezza una frazione) e per parti (∫u dv = uv − ∫v du). L'integrale definito ∫ₐᵇ f(x) dx è l'area con segno sotto la curva da a a b, e il teorema fondamentale dice che vale F(b) − F(a). Le sue proprietà rendono facili molti integrali difficili.
Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole – Tagliando un doppio cono con un piano si ottiene una circonferenza, un'ellisse, una parabola o un'iperbole; un taglio che passa per il vertice dà un punto, una retta o due rette (coniche degeneri). Circonferenza: (x − h)² + (y − k)² = r². Parabola y² = 4ax: fuoco (a, 0), direttrice x = −a, latus rectum 4a, e = 1. Ellisse x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): c² = a² − b², fuochi (±c, 0), e = c/a < 1, latus rectum 2b²/a, PF₁ + PF₂ = 2a. Iperbole x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1, latus rectum 2b²/a, |PF₁ − PF₂| = 2a.
Limiti: a quale valore si avvicina una funzione – Un limite ci dice a quale numero si avvicina f(x) quando x si avvicina a un punto. Camminiamo verso il punto da sinistra e da destra. Se da entrambe le parti arriviamo allo stesso numero, quel numero è il limite. Imparerai i limiti di funzioni polinomiali, razionali, goniometriche, esponenziali e logaritmiche, con i risultati notevoli da conoscere.
Misure di dispersione: range, scarto medio, varianza e deviazione standard – Dispersione significa quanto i valori sono sparpagliati intorno al centro. Range = valore massimo − valore minimo. Scarto medio = distanza media dalla media (o dalla mediana). Varianza = media dei quadrati delle distanze dalla media. Deviazione standard = √varianza. Per i dati raggruppati le stesse idee valgono se ogni termine viene moltiplicato per la sua frequenza.
Modellizzazione matematica: usare la matematica per descrivere il mondo reale – Un modello matematico è un'equazione, un grafico o una tabella che descrive una situazione reale in modo semplice. Il ciclo della modellizzazione: capire il problema reale → scegliere le variabili e fare delle ipotesi → costruire un modello (per esempio lineare, quadratico o esponenziale) → risolvere e prevedere → confrontare il risultato con i dati reali → migliorare il modello o dire quali sono i suoi limiti. Nessun modello è perfetto: uno buono è semplice e abbastanza vicino alla realtà da essere utile.
Numeri complessi ed equazioni di secondo grado – Alcune equazioni, come x² + 1 = 0, non hanno soluzioni reali, perché nessun numero reale ha un quadrato negativo. Allora aggiungiamo un nuovo numero i con i² = −1. Un numero complesso è z = a + ib: a è la parte reale e b è la parte immaginaria. Sommiamo, sottraiamo e moltiplichiamo i numeri complessi come in algebra, sostituendo i² con −1. Per dividere, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato. Nel piano di Argand, z = a + ib è il punto (a, b). Il coniugato a − ib è la sua immagine speculare rispetto all'asse reale, e il modulo √(a² + b²) è la sua distanza dall'origine. Ogni equazione ax² + bx + c = 0 con D = b² − 4ac < 0 ha due radici complesse che sono coniugate tra loro.
Probabilità condizionata, regola del prodotto ed eventi indipendenti – La probabilità condizionata è la probabilità di A quando sappiamo già che B è avvenuto. Eliminiamo tutti i risultati fuori da B e contiamo di nuovo: P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B). Rigirando la formula si ottiene la regola del prodotto P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B). Se sapere che B è avvenuto non cambia la probabilità di A, gli eventi sono indipendenti e P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
Proprietà delle potenze – L'esponente dice quante volte la base si moltiplica per se stessa. Stessa base: moltiplicare → sommare gli esponenti, dividere → sottrarre, potenza di potenza → moltiplicare. a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ e a^(1/n) è la radice n-esima.
Scopriamo le identità algebriche – Un'identità è un'uguaglianza vera per qualsiasi valore delle lettere. Le figure la dimostrano: un quadrato di lato (a + b) si divide in a², ab, ab e b², quindi (a + b)² = a² + 2ab + b². Nello stesso modo otteniamo (a − b)², a² − b² = (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (a + b + c)² e (a + b)³. Lette al contrario, le identità servono per scomporre in fattori, calcolare in fretta e semplificare le frazioni algebriche.