Integrali

L'integrazione come inverso della derivazione

Se d/dx F(x) = f(x), allora F è una primitiva di f e scriviamo ∫f(x) dx = F(x) + C. C è la costante di integrazione: aggiungere una costante non cambia la pendenza, quindi esiste un'intera famiglia di risposte.

Controlla sempre il risultato derivandolo: devi ottenere di nuovo la funzione integranda.

Due regole di base: ∫[f ± g] dx = ∫f dx ± ∫g dx e ∫k f dx = k∫f dx.

Integrali notevoli

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
• ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sec²x dx = tan x + C
• ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
• ∫dx/(x² − a²) = (1/2a) ln|(x − a)/(x + a)| + C; ∫dx/(a² − x²) = (1/2a) ln|(a + x)/(a − x)| + C
• ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C; ∫dx/√(x² ± a²) = ln|x + √(x² ± a²)| + C
• ∫√(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
• ∫√(x² ± a²) dx = (x/2)√(x² ± a²) ± (a²/2) ln|x + √(x² ± a²)| + C

Per ∫dx/(ax² + bx + c), completa il quadrato per arrivare a una di queste forme.

Integrazione per sostituzione

Quando la funzione integranda contiene una funzione e (un multiplo de) la sua derivata, poni la funzione interna = u.

∫2x cos(x²) dx: u = x², du = 2x dx → ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C.

Risultati utili: ∫tan x dx = ln|sec x| + C, ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C, ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.

Integrazione per fratti semplici

Per una funzione razionale propria P(x)/Q(x), spezzala così:

• 1/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b)
• fattore ripetuto: A/(x − a) + B/(x − a)²
• fattore di secondo grado che non si scompone: (Bx + C)/(x² + bx + c)

Trova A e B sostituendo valori comodi di x, poi integra ogni pezzo come un logaritmo. Se il grado del numeratore non è minore, dividi prima.

Integrazione per parti

∫u dv = uv − ∫v du, oppure ∫f·g dx = f∫g dx − ∫[f′ ∫g dx] dx.

Scegli u (la prima funzione) con ILATE. ∫x eˣ dx: u = x, dv = eˣ dx → x eˣ − ∫eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.

Risultato speciale: ∫eˣ[f(x) + f′(x)] dx = eˣ f(x) + C.

Integrale definito e teorema fondamentale

∫ₐᵇ f(x) dx è il limite della somma delle aree di sottili rettangoli sotto y = f(x) da a a b (l'area sopra l'asse x conta +, quella sotto conta −).

Teorema fondamentale del calcolo: (1) A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ha A′(x) = f(x). (2) Se F′ = f, allora ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Non serve +C.

Con la sostituzione in un integrale definito, cambia anche i limiti.

Proprietà e calcolo degli integrali definiti

1. ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(t) dt (la lettera non conta).
2. ∫ₐᵇ f = −∫ da b ad a di f; ∫ₐᵃ f = 0.
3. ∫ da a a b = ∫ da a a c + ∫ da c a b (spezza in c, utile per funzioni come |x|).
4. ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x) dx.
5. ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx.
6. ∫₀²ᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx se f(2a − x) = f(x), e 0 se f(2a − x) = −f(x).
7. ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx se f è pari; 0 se f è dispari.

Classico: I = ∫₀^(π/2) sin x/(sin x + cos x) dx. Con la proprietà 5, I = anche ∫ cos x/(cos x + sin x) dx. Sommando: 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, quindi I = π/4.

Formule e definizioni chiave

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
• ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
• Per parti: ∫u dv = uv − ∫v du
• ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
• ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx

Esempi svolti

Errori comuni

• Dimenticare + C negli integrali indefiniti (negli integrali definiti non serve).
• Usare ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) per n = −1. Invece ∫1/x dx = ln|x| + C.
• Dopo una sostituzione in un integrale definito, usare i vecchi limiti per la nuova variabile.
• Scegliere la u sbagliata per parti (per esempio u = eˣ in ∫x eˣ dx), che rende il nuovo integrale più difficile.