L'intégration, c'est la dérivation à l'envers
Si d/dx F(x) = f(x), alors F est une primitive de f et on écrit ∫f(x) dx = F(x) + C. C est la constante d'intégration : ajouter une constante ne change pas la pente, donc il existe toute une famille de réponses.
Vérifie toujours ta réponse en la dérivant : tu dois retrouver la fonction de départ.
Deux règles de base : ∫[f ± g] dx = ∫f dx ± ∫g dx et ∫k f dx = k∫f dx.
Intégrales usuelles
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1) ; ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫eˣ dx = eˣ + C ; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫sin x dx = −cos x + C ; ∫cos x dx = sin x + C ; ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
- ∫dx/(x² − a²) = (1/2a) ln|(x − a)/(x + a)| + C ; ∫dx/(a² − x²) = (1/2a) ln|(a + x)/(a − x)| + C
- ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C ; ∫dx/√(x² ± a²) = ln|x + √(x² ± a²)| + C
- ∫√(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
- ∫√(x² ± a²) dx = (x/2)√(x² ± a²) ± (a²/2) ln|x + √(x² ± a²)| + C
Pour ∫dx/(ax² + bx + c), utilise la forme canonique (on complète le carré) pour te ramener à l'une de ces formes.
Intégration par changement de variable
Quand la fonction à intégrer contient une fonction et (un multiple de) sa dérivée, pose la fonction intérieure = u.
∫2x cos(x²) dx : u = x², du = 2x dx → ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C.
Résultats utiles : ∫tan x dx = ln|sec x| + C, ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C, ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.
Intégration par fractions simples
Pour une fraction rationnelle propre P(x)/Q(x) (degré du haut plus petit que celui du bas), découpe-la :
- 1/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b)
- facteur répété : A/(x − a) + B/(x − a)²
- facteur du second degré qui ne se factorise pas : (Bx + C)/(x² + bx + c)
Trouve A et B en choisissant des valeurs de x bien pratiques, puis intègre chaque morceau sous forme de logarithme. Si le degré du haut n'est pas plus petit, fais d'abord la division.
Intégration par parties
∫u dv = uv − ∫v du, ou encore ∫f·g dx = f∫g dx − ∫[f′ ∫g dx] dx.
Choisis u (la première fonction) avec ILATE. ∫x eˣ dx : u = x, dv = eˣ dx → x eˣ − ∫eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.
Résultat spécial : ∫eˣ[f(x) + f′(x)] dx = eˣ f(x) + C.
Intégrale définie et théorème fondamental
∫ₐᵇ f(x) dx est la limite de la somme des aires de fins rectangles sous y = f(x) de a à b (l'aire au-dessus de l'axe des x compte +, celle en dessous compte −).
Théorème fondamental de l'analyse : (1) A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt vérifie A′(x) = f(x). (2) Si F′ = f, alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Pas besoin de +C.
Avec un changement de variable dans une intégrale définie, change aussi les bornes.
Propriétés et calcul des intégrales définies
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(t) dt (la lettre n'a pas d'importance).
- ∫ₐᵇ f = −∫ de b à a de f ; ∫ₐᵃ f = 0.
- ∫ de a à b = ∫ de a à c + ∫ de c à b (on coupe en c, utile pour les fonctions du type |x|).
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x) dx.
- ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx.
- ∫₀²ᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx si f(2a − x) = f(x), et 0 si f(2a − x) = −f(x).
- ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx si f est paire ; 0 si f est impaire.
Classique : I = ∫₀^(π/2) sin x/(sin x + cos x) dx. Avec la propriété 5, I = aussi ∫ cos x/(cos x + sin x) dx. On additionne : 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, donc I = π/4.
Formules et définitions clés
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
- ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
- Par parties : ∫u dv = uv − ∫v du
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
- ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx
Exemples résolus
1. Calcule ∫(3x² + 4x − 5) dx.
x³ + 2x² − 5x + C. Vérification : la dérivée est 3x² + 4x − 5.
2. Calcule ∫(x + 1)/x dx.
∫(1 + 1/x) dx = x + ln|x| + C.
3. Calcule ∫ sin³x cos x dx.
u = sin x, du = cos x dx. ∫u³ du = u⁴/4 + C = sin⁴x/4 + C.
4. Calcule ∫ dx/(x² + 4x + 13).
x² + 4x + 13 = (x + 2)² + 9. = (1/3) tan⁻¹((x + 2)/3) + C.
5. Calcule ∫ (x + 5)/((x + 1)(x + 2)) dx.
(x + 5)/((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2). x = −1 : A = 4. x = −2 : B = −3. Réponse : 4 ln|x + 1| − 3 ln|x + 2| + C.
6. Calcule ∫ x cos x dx.
u = x (A), dv = cos x dx (T). v = sin x. = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x + C.
7. Calcule ∫ ln x dx.
On écrit ∫ln x · 1 dx, u = ln x, dv = dx. = x ln x − ∫x·(1/x) dx = x ln x − x + C.
8. Calcule ∫₀² (x² + 1) dx.
[x³/3 + x]₀² = 8/3 + 2 = 14/3.
9. Calcule ∫₋₁¹ x³ cos x dx.
x³ cos x est impaire (f(−x) = −f(x)), donc l'intégrale de −1 à 1 vaut 0.
10. Calcule ∫₀^(π/2) sin²x dx.
Avec la propriété 5, elle vaut ∫₀^(π/2) cos²x dx. En additionnant, 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, donc I = π/4.
Erreurs fréquentes
- Oublier + C dans les intégrales indéfinies (on n'en a pas besoin dans les intégrales définies).
- Utiliser ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) pour n = −1. Il faut ∫1/x dx = ln|x| + C.
- Après un changement de variable dans une intégrale définie, garder les anciennes bornes pour la nouvelle variable.
- Mal choisir u dans une intégration par parties (par exemple u = eˣ dans ∫x eˣ dx), ce qui rend la nouvelle intégrale plus difficile.