Integrieren als Umkehrung des Ableitens
Wenn d/dx F(x) = f(x) gilt, heißt F eine Stammfunktion von f, und wir schreiben ∫f(x) dx = F(x) + C. C ist die Integrationskonstante: Eine addierte Konstante ändert die Steigung nicht, deshalb gibt es eine ganze Schar von Lösungen.
Prüfe dein Ergebnis immer durch Ableiten: Du musst den Integranden zurückbekommen.
Zwei Grundregeln: ∫[f ± g] dx = ∫f dx ± ∫g dx und ∫k f dx = k∫f dx.
Grundintegrale
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
- ∫dx/(x² − a²) = (1/2a) ln|(x − a)/(x + a)| + C; ∫dx/(a² − x²) = (1/2a) ln|(a + x)/(a − x)| + C
- ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C; ∫dx/√(x² ± a²) = ln|x + √(x² ± a²)| + C
- ∫√(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
- ∫√(x² ± a²) dx = (x/2)√(x² ± a²) ± (a²/2) ln|x + √(x² ± a²)| + C
Bei ∫dx/(ax² + bx + c) ergänzt du quadratisch, um eine dieser Formen zu erreichen.
Integration durch Substitution
Wenn der Integrand eine Funktion und (ein Vielfaches von) ihrer Ableitung enthält, setze die innere Funktion = u.
∫2x cos(x²) dx: u = x², du = 2x dx → ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C.
Nützliche Ergebnisse: ∫tan x dx = ln|sec x| + C, ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C, ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.
Integration durch Partialbruchzerlegung
Bei einer echt gebrochenen rationalen Funktion P(x)/Q(x) spaltest du sie auf:
- 1/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b)
- doppelter Faktor: A/(x − a) + B/(x − a)²
- quadratischer Faktor, der sich nicht zerlegen lässt: (Bx + C)/(x² + bx + c)
A und B findest du, indem du geschickte x-Werte einsetzt. Dann integrierst du jedes Stück als Logarithmus. Ist der Grad im Zähler nicht kleiner, teile zuerst.
Partielle Integration
∫u dv = uv − ∫v du, oder ∫f·g dx = f∫g dx − ∫[f′ ∫g dx] dx.
Wähle u (die erste Funktion) nach ILATE. ∫x eˣ dx: u = x, dv = eˣ dx → x eˣ − ∫eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.
Spezialfall: ∫eˣ[f(x) + f′(x)] dx = eˣ f(x) + C.
Bestimmtes Integral und Hauptsatz
∫ₐᵇ f(x) dx ist der Grenzwert der Summe dünner Rechteckflächen unter y = f(x) von a bis b (Fläche oberhalb der x-Achse zählt +, unterhalb zählt −).
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: (1) A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt hat die Ableitung A′(x) = f(x). (2) Ist F′ = f, dann gilt ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Ein +C ist nicht nötig.
Wenn du bei einem bestimmten Integral substituierst, ändere auch die Grenzen.
Rechenregeln und Auswertung bestimmter Integrale
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(t) dt (der Buchstabe ist egal).
- ∫ₐᵇ f = −∫ von b bis a von f; ∫ₐᵃ f = 0.
- ∫ von a bis b = ∫ von a bis c + ∫ von c bis b (bei c teilen, nützlich für Funktionen wie |x|).
- ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x) dx.
- ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx.
- ∫₀²ᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx, wenn f(2a − x) = f(x), und 0, wenn f(2a − x) = −f(x).
- ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx, wenn f gerade ist; 0, wenn f ungerade ist.
Klassiker: I = ∫₀^(π/2) sin x/(sin x + cos x) dx. Nach Regel 5 ist I auch = ∫ cos x/(cos x + sin x) dx. Addiere: 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, also I = π/4.
Wichtige Formeln und Definitionen
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
- ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
- Partielle Integration: ∫u dv = uv − ∫v du
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
- ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx
Gelöste Beispiele
1. Bestimme ∫(3x² + 4x − 5) dx.
x³ + 2x² − 5x + C. Probe: Die Ableitung ist 3x² + 4x − 5.
2. Bestimme ∫(x + 1)/x dx.
∫(1 + 1/x) dx = x + ln|x| + C.
3. Bestimme ∫ sin³x cos x dx.
u = sin x, du = cos x dx. ∫u³ du = u⁴/4 + C = sin⁴x/4 + C.
4. Bestimme ∫ dx/(x² + 4x + 13).
x² + 4x + 13 = (x + 2)² + 9. = (1/3) tan⁻¹((x + 2)/3) + C.
5. Bestimme ∫ (x + 5)/((x + 1)(x + 2)) dx.
(x + 5)/((x + 1)(x + 2)) = A/(x + 1) + B/(x + 2). x = −1: A = 4. x = −2: B = −3. Ergebnis: 4 ln|x + 1| − 3 ln|x + 2| + C.
6. Bestimme ∫ x cos x dx.
u = x (A), dv = cos x dx (T). v = sin x. = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x + C.
7. Bestimme ∫ ln x dx.
Schreibe es als ∫ln x · 1 dx, u = ln x, dv = dx. = x ln x − ∫x·(1/x) dx = x ln x − x + C.
8. Berechne ∫₀² (x² + 1) dx.
[x³/3 + x]₀² = 8/3 + 2 = 14/3.
9. Berechne ∫₋₁¹ x³ cos x dx.
x³ cos x ist ungerade (f(−x) = −f(x)), also ist das Integral von −1 bis 1 gleich 0.
10. Berechne ∫₀^(π/2) sin²x dx.
Nach Regel 5 ist es gleich ∫₀^(π/2) cos²x dx. Addiert: 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, also I = π/4.
Häufige Fehler
- Das + C bei unbestimmten Integralen vergessen (bei bestimmten Integralen braucht man es nicht).
- Die Formel ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) für n = −1 benutzen. Richtig ist ∫1/x dx = ln|x| + C.
- Nach der Substitution in einem bestimmten Integral die alten Grenzen für die neue Variable weiterverwenden.
- Bei der partiellen Integration das falsche u wählen (z. B. u = eˣ in ∫x eˣ dx), sodass das neue Integral schwerer wird.