Was ist Stetigkeit?
Eine Funktion f ist an der Stelle x = a stetig, wenn drei Dinge übereinstimmen:
- der linksseitige Grenzwert (von Werten, die etwas kleiner als a sind),
- der rechtsseitige Grenzwert (von Werten, die etwas größer als a sind),
- der tatsächliche Wert f(a).
Kurz: lim(x→a) f(x) = f(a). Fehlt eines davon oder weicht es ab, hat der Graph bei a einen Bruch (ein Loch oder einen Sprung).
Polynome, sin x, cos x, eˣ und ln x (für x > 0) sind überall dort stetig, wo sie definiert sind. Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (Nenner nicht null) stetiger Funktionen sind ebenfalls stetig.
Differenzierbar heißt stetig, aber nicht umgekehrt
Hat eine Funktion bei a eine Ableitung, muss sie bei a stetig sein. Aber |x| ist bei 0 stetig und hat dort trotzdem keine Ableitung: Der Graph hat eine scharfe Ecke, die linke Steigung (−1) und die rechte Steigung (+1) passen nicht zusammen.
Ableitung und Kettenregel
Die Ableitung f′(x) ist die Steigung der Tangente bei x: f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
Kettenregel (eine Funktion steckt in einer Funktion): Ist y = f(u) und u = g(x), dann gilt dy/dx = (dy/du) × (du/dx).
Beispiel: y = (3x + 1)⁵. Außen: u⁵ → 5u⁴. Innen: 3x + 1 → 3. Also dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴.
Ableitungen der Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²), für −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
Warum bei tan⁻¹x: Setze y = tan⁻¹x, also tan y = x. Ableiten: sec²y · dy/dx = 1, also dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²).
Tipp: Eine clevere Substitution wie x = tan θ macht einen unhandlichen Term oft einfach, bevor du ableitest.
Implizite Funktionen
Manchmal sind x und y vermischt, zum Beispiel x² + y² = 9 oder x³ + y³ = 3xy. Wir müssen nicht nach y auflösen. Leite jeden Term nach x ab, und wenn du etwas mit y ableitest, multipliziere mit dy/dx (Kettenregel). Sammle danach die Terme mit dy/dx.
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.
Exponential- und Logarithmusfunktionen
- d/dx (eˣ) = eˣ — die Steigung ist gleich der Höhe.
- d/dx (ln x) = 1/x, für x > 0.
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a.
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a).
Mit der Kettenregel: d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x.
Logarithmisches Ableiten
Nutze es, wenn im Exponenten selbst x steht (wie xˣ oder (sin x)^x) oder bei einem langen Produkt oder Quotienten.
- Nimm auf beiden Seiten ln: ln y = x ln x.
- Ableiten: (1/y) dy/dx = ln x + 1.
- Mit y multiplizieren: dy/dx = xˣ(1 + ln x).
Funktionen in Parameterform
Manchmal hängen x und y beide von einer dritten Größe t ab (einem Parameter), zum Beispiel x = t², y = 2t. Dann gilt
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), solange dx/dt ≠ 0 ist.
Für einen Kreis x = r cos t, y = r sin t: dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t.
Zweite Ableitung
Leite noch einmal ab: d²y/dx² = d/dx (dy/dx), auch geschrieben als f″(x) oder y₂.
Sie zeigt, wie sich die Steigung ändert. f″ > 0: Die Steigung wächst, die Kurve krümmt sich nach oben wie eine Schale. f″ < 0: Sie krümmt sich nach unten wie eine Kappe.
Beispiel: y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x.
Bei der Parameterform: d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt). Teile nicht einfach d²y/dt² durch d²x/dt².
Wichtige Formeln und Definitionen
- Continuity at a: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- Chain rule: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- Parametric: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- Second derivative: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
Gelöste Beispiele
1. Ist f(x) = 2x + 3 für x ≤ 1 und f(x) = 6 − x für x > 1 an der Stelle x = 1 stetig?
Linker Grenzwert: 2(1) + 3 = 5. Rechter Grenzwert: 6 − 1 = 5. Wert f(1) = 5. Alle drei sind gleich, also ist f bei x = 1 stetig.
2. Bestimme k so, dass f(x) = kx² für x ≤ 2 und f(x) = 3 für x > 2 bei x = 2 stetig ist.
Linker Grenzwert = Wert = 4k. Rechter Grenzwert = 3. Für Stetigkeit muss 4k = 3 gelten, also k = 3/4.
3. Leite y = sin(x² + 5) ab.
Außen sin u → cos u; innen x² + 5 → 2x. dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5).
4. Leite y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) für −1 < x < 1 ab.
Setze x = tan θ. Dann ist 2x/(1 − x²) = tan 2θ, also y = 2θ = 2 tan⁻¹x. dy/dx = 2/(1 + x²).
5. Bestimme dy/dx, wenn x² + xy + y² = 7 gilt.
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0. Also dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), und damit dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
6. Leite y = e^(3x) · ln x ab.
Produktregel: dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x).
7. Leite y = xˣ (x > 0) ab.
ln y = x ln x. (1/y) dy/dx = ln x + 1. dy/dx = xˣ(1 + ln x).
8. Wenn x = a cos t und y = a sin t, bestimme dy/dx und d²y/dx².
dx/dt = −a sin t, dy/dt = a cos t, also dy/dx = −cot t. d/dt(−cot t) = cosec²t. d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t).
9. Wenn y = 3e^(2x) + 2e^(−x), zeige, dass y″ − y′ − 2y = 0 gilt.
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x); y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x). y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0.
Häufige Fehler
- Die innere Ableitung bei der Kettenregel vergessen: d/dx sin(3x) ist 3cos(3x), nicht cos(3x).
- Beim impliziten Ableiten d/dx(y²) = 2y statt 2y·dy/dx schreiben.
- Denken, jede stetige Funktion sei differenzierbar. |x| ist bei 0 stetig, hat aber eine Ecke und dort keine Ableitung.
- Bei der zweiten Ableitung in Parameterform d²y/dt² durch d²x/dt² teilen. Leite stattdessen dy/dx nach t ab und teile durch dx/dt.