Qu'est-ce que la continuité ?
Une fonction f est continue en x = a quand trois choses coïncident :
- la limite à gauche (en venant de valeurs un peu plus petites que a),
- la limite à droite (en venant de valeurs un peu plus grandes que a),
- la vraie valeur f(a).
En bref : lim(x→a) f(x) = f(a). Si l'une manque ou est différente, la courbe a une cassure (un trou ou un saut) en a.
Les polynômes, sin x, cos x, eˣ et ln x (pour x > 0) sont continus partout où ils sont définis. Les sommes, différences, produits et quotients (dénominateur non nul) de fonctions continues sont aussi continus.
Dérivable implique continue, pas l'inverse
Si une fonction a une dérivée en a, elle est forcément continue en a. Mais |x| est continue en 0 et n'a pourtant pas de dérivée : la courbe a un coin pointu, donc la pente à gauche (−1) et la pente à droite (+1) ne sont pas égales.
Dérivée et fonction composée
La dérivée f′(x) est la pente de la tangente en x : f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
Dérivée d'une fonction composée (une fonction dans une fonction) : si y = f(u) et u = g(x), alors dy/dx = (dy/du) × (du/dx).
Exemple : y = (3x + 1)⁵. Extérieur : u⁵ → 5u⁴. Intérieur : 3x + 1 → 3. Donc dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴.
Dérivées des fonctions trigonométriques inverses
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²), pour −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
Pourquoi pour tan⁻¹x : posons y = tan⁻¹x, donc tan y = x. On dérive : sec²y · dy/dx = 1, donc dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²).
Astuce : une bonne substitution comme x = tan θ transforme souvent une expression compliquée en une expression simple avant de dériver.
Fonctions implicites
Parfois x et y sont mélangés, comme dans x² + y² = 9 ou x³ + y³ = 3xy. Pas besoin d'isoler y. On dérive chaque terme par rapport à x, et chaque fois qu'on dérive quelque chose avec y, on multiplie par dy/dx (dérivée composée). Ensuite on regroupe les termes en dy/dx.
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.
Fonctions exponentielles et logarithmes
- d/dx (eˣ) = eˣ : sa pente est égale à sa hauteur.
- d/dx (ln x) = 1/x, pour x > 0.
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a.
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a).
Avec la dérivée composée : d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x.
Dérivation logarithmique
On l'utilise quand l'exposant contient x (comme xˣ ou (sin x)^x), ou pour un long produit ou quotient.
- Prends ln des deux côtés : ln y = x ln x.
- Dérive : (1/y) dy/dx = ln x + 1.
- Multiplie par y : dy/dx = xˣ(1 + ln x).
Fonctions sous forme paramétrique
Parfois x et y dépendent tous deux d'une troisième variable t (un paramètre), comme x = t², y = 2t. Alors
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), à condition que dx/dt ≠ 0.
Pour un cercle x = r cos t, y = r sin t : dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t.
Dérivée seconde
On dérive une fois de plus : d²y/dx² = d/dx (dy/dx), aussi notée f″(x) ou y₂.
Elle dit comment la pente change. f″ > 0 : la pente augmente, la courbe est tournée vers le haut comme un bol. f″ < 0 : elle est tournée vers le bas comme un chapeau.
Exemple : y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x.
Pour les formes paramétriques : d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt). Ne divise pas simplement d²y/dt² par d²x/dt².
Formules et définitions clés
- Continuité en a : lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- Fonction composée : dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- Paramétrique : dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- Dérivée seconde : d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
Exemples résolus
1. La fonction f(x) = 2x + 3 pour x ≤ 1 et f(x) = 6 − x pour x > 1 est-elle continue en x = 1 ?
Limite à gauche : 2(1) + 3 = 5. Limite à droite : 6 − 1 = 5. Valeur f(1) = 5. Les trois sont égales, donc f est continue en x = 1.
2. Trouve k pour que f(x) = kx² si x ≤ 2 et f(x) = 3 si x > 2 soit continue en x = 2.
Limite à gauche = valeur = 4k. Limite à droite = 3. Pour la continuité, 4k = 3, donc k = 3/4.
3. Dérive y = sin(x² + 5).
Extérieur sin u → cos u ; intérieur x² + 5 → 2x. dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5).
4. Dérive y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) pour −1 < x < 1.
Posons x = tan θ. Alors 2x/(1 − x²) = tan 2θ, donc y = 2θ = 2 tan⁻¹x. dy/dx = 2/(1 + x²).
5. Trouve dy/dx si x² + xy + y² = 7.
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0. Donc dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), ce qui donne dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
6. Dérive y = e^(3x) · ln x.
Règle du produit : dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x).
7. Dérive y = xˣ (x > 0).
ln y = x ln x. (1/y) dy/dx = ln x + 1. dy/dx = xˣ(1 + ln x).
8. Si x = a cos t et y = a sin t, trouve dy/dx et d²y/dx².
dx/dt = −a sin t, dy/dt = a cos t, donc dy/dx = −cot t. d/dt(−cot t) = cosec²t. d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t).
9. Si y = 3e^(2x) + 2e^(−x), montre que y″ − y′ − 2y = 0.
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x) ; y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x). y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0.
Erreurs fréquentes
- Oublier la dérivée de l'intérieur dans la dérivée composée : d/dx sin(3x) vaut 3cos(3x), pas cos(3x).
- En dérivation implicite, écrire d/dx(y²) = 2y au lieu de 2y·dy/dx.
- Croire que toute fonction continue est dérivable. |x| est continue en 0 mais a un coin, donc pas de dérivée là.
- Pour les dérivées secondes paramétriques, diviser d²y/dt² par d²x/dt². Il faut plutôt dériver dy/dx par rapport à t, puis diviser par dx/dt.