Taux de variation d'une grandeur
Si y dépend de x, alors dy/dx est le taux de variation de y par rapport à x. En x = a, on écrit (dy/dx) en a, ou f′(a).
Si x et y changent tous les deux avec le temps t, on utilise la dérivée d'une composée : dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt).
Exemple : le rayon d'un cercle augmente de 0.5 cm/s. L'aire est A = πr², donc dA/dt = 2πr × dr/dt. Pour r = 4 cm, dA/dt = 2π(4)(0.5) = 4π cm²/s.
Le coût marginal et la recette marginale en économie sont aussi des dérivées : la variation du coût ou de la recette pour un article de plus.
Fonctions croissantes et décroissantes
Sur un intervalle où f est dérivable :
- f′(x) > 0 pour tout x → f est strictement croissante (le graphique monte de gauche à droite).
- f′(x) < 0 pour tout x → f est strictement décroissante.
- f′(x) = 0 pour tout x → f est constante.
Comment trouver les intervalles
- Calcule f′(x) et résous f′(x) = 0.
- Ces points découpent la droite des nombres en intervalles.
- Étudie le signe de f′ dans chaque intervalle.
Pour f(x) = x³ − 3x : f′ = 3(x − 1)(x + 1). f est croissante sur (−∞, −1) et (1, ∞), décroissante sur (−1, 1).
Maximum et minimum
Un maximum local est un point plus haut que tous les points voisins ; un minimum local est plus bas que tous les points voisins. En un tel point (si la fonction est lisse), f′(c) = 0. Les points où f′(c) = 0 ou où f′ n'existe pas s'appellent des points critiques.
Test de la dérivée première
- f′ passe de + à − en c → maximum local.
- f′ passe de − à + en c → minimum local.
- Pas de changement de signe → ni l'un ni l'autre (point d'inflexion, comme x³ en 0).
Test de la dérivée seconde
- f′(c) = 0 et f″(c) < 0 → maximum local.
- f′(c) = 0 et f″(c) > 0 → minimum local.
- f″(c) = 0 → le test ne permet pas de conclure ; reviens au test de la dérivée première.
Maximum et minimum absolus (globaux) sur [a, b]
Trouve tous les points critiques dans [a, b], calcule f en ces points et aux extrémités a et b. La plus grande valeur est le maximum absolu, la plus petite est le minimum absolu.
Problèmes de la vie réelle
- Nomme la grandeur à rendre la plus grande ou la plus petite (volume, aire, coût).
- Écris-la avec une seule variable grâce à la condition donnée.
- Dérive, pose la dérivée égale à 0, résous.
- Utilise le test de la dérivée seconde (ou première) pour confirmer max ou min.
- Réponds à la question avec les unités.
Exemple de la boîte : V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6). x = 6 ne donne aucune boîte, donc x = 2 ; V″(2) = −48 < 0, c'est un maximum de 128 cm³.
Formules et définitions clés
- Taux de variation : dy/dx ; taux liés dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → croissante, f′(x) < 0 → décroissante
- Point critique : f′(c) = 0 ou f′(c) n'existe pas
- Test de la dérivée première : + → − max, − → + min
- Test de la dérivée seconde : f″(c) < 0 max, f″(c) > 0 min
Exemples résolus
1. Le côté d'un carré augmente de 3 cm/s. À quelle vitesse l'aire augmente-t-elle quand le côté vaut 10 cm ?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s.
2. Le rayon d'un ballon augmente de 2 cm/s. Trouve la vitesse de variation du volume quand r = 5 cm.
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s.
3. Le coût de fabrication de x articles est C(x) = 0.5x² + 10x + 100. Trouve le coût marginal pour x = 20.
C′(x) = x + 10. C′(20) = 30. Fabriquer le 21e article coûte environ ₹30 de plus.
4. Trouve les intervalles où f(x) = x² − 4x + 1 est croissante ou décroissante.
f′(x) = 2x − 4 = 0 en x = 2. Pour x < 2, f′ < 0 (décroissante) ; pour x > 2, f′ > 0 (croissante).
5. Trouve les maximums et minimums locaux de f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1.
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2. f″ = 12x − 18. f″(1) = −6 < 0 → max local f(1) = 6. f″(2) = 6 > 0 → min local f(2) = 5.
6. Trouve le maximum et le minimum absolus de f(x) = x³ − 3x sur [0, 3].
Point critique à l'intérieur : x = 1 (x = −1 est en dehors). f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Maximum absolu 18 en x = 3, minimum absolu −2 en x = 1.
7. Deux nombres positifs ont pour somme 20. Trouve-les pour que leur produit soit le plus grand.
Les nombres sont x et 20 − x. P = 20x − x². P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. P″ = −2 < 0 → max. Les nombres sont 10 et 10, produit 100.
8. Un rectangle a un périmètre de 40 m. Montre que son aire est la plus grande quand c'est un carré.
Côtés x et 20 − x, A = 20x − x², A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0. Les deux côtés valent 10 m : un carré d'aire 100 m².
Erreurs fréquentes
- Croire que f′(c) = 0 donne toujours un max ou un min. Pour x³ en 0, la pente est nulle mais la courbe continue de monter.
- Oublier de vérifier les extrémités quand on cherche le max ou le min absolu sur un intervalle fermé.
- Dans un problème, dériver avant d'avoir écrit la grandeur avec une seule variable.
- Mélanger les unités dans les taux : si r est en cm et le temps en s, la réponse est en cm²/s ou cm³/s.