राशियों के परिवर्तन की दर
अगर y, x पर निर्भर है तो dy/dx, x के सापेक्ष y के परिवर्तन की दर है। x = a पर इसे f′(a) लिखते हैं।
अगर x और y दोनों समय t के साथ बदलें तो शृंखला नियम: dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt)।
उदाहरण: वृत्त की त्रिज्या 0.5 cm/s से बढ़ रही है। A = πr², तो dA/dt = 2πr × dr/dt। r = 4 cm पर dA/dt = 4π cm²/s।
अर्थशास्त्र में सीमांत लागत और सीमांत आय भी अवकलज हैं: एक और वस्तु बनाने पर लागत या आय में बदलाव।
वर्धमान और ह्रासमान फलन
किसी अंतराल पर:
- हर x पर f′(x) > 0 → f निरंतर वर्धमान (ग्राफ़ बाएँ से दाएँ चढ़ता है)।
- हर x पर f′(x) < 0 → f निरंतर ह्रासमान।
- हर x पर f′(x) = 0 → f अचर है।
अंतराल कैसे निकालें
- f′(x) निकालो और f′(x) = 0 हल करो।
- ये बिंदु संख्या रेखा को अंतरालों में बाँटते हैं।
- हर अंतराल में f′ का चिह्न जाँचो।
f(x) = x³ − 3x के लिए f′ = 3(x − 1)(x + 1)। (−∞, −1) और (1, ∞) पर वर्धमान, (−1, 1) पर ह्रासमान।
उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ
स्थानीय उच्चिष्ठ वह बिंदु है जो आस-पास के सब बिंदुओं से ऊँचा हो; स्थानीय निम्निष्ठ सबसे नीचा। ऐसे बिंदु पर (अगर फलन चिकना है) f′(c) = 0। जहाँ f′(c) = 0 हो या f′ परिभाषित न हो, वे क्रांतिक बिंदु हैं।
प्रथम अवकलज परीक्षण
- c पर f′ का चिह्न + से − → स्थानीय उच्चिष्ठ।
- − से + → स्थानीय निम्निष्ठ।
- चिह्न न बदले → न उच्चिष्ठ न निम्निष्ठ (नति परिवर्तन बिंदु, जैसे x³ का 0)।
द्वितीय अवकलज परीक्षण
- f′(c) = 0 और f″(c) < 0 → स्थानीय उच्चिष्ठ।
- f′(c) = 0 और f″(c) > 0 → स्थानीय निम्निष्ठ।
- f″(c) = 0 → परीक्षण असफल; प्रथम परीक्षण लगाओ।
[a, b] पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ
[a, b] के अंदर के क्रांतिक बिंदु और सिरे a, b — सब पर f का मान निकालो। सबसे बड़ा मान निरपेक्ष उच्चिष्ठ, सबसे छोटा निरपेक्ष निम्निष्ठ।
असली जीवन के सवाल
- कौन-सी राशि सबसे बड़ी/छोटी करनी है (आयतन, क्षेत्रफल, लागत) पहचानो।
- दी गई शर्त से उसे एक चर में लिखो।
- अवकलन करो, शून्य के बराबर रखो, हल करो।
- द्वितीय (या प्रथम) परीक्षण से पक्का करो।
- इकाई के साथ उत्तर लिखो।
डिब्बा: V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6)। x = 6 पर डिब्बा नहीं बनता, तो x = 2; V″(2) = −48 < 0, अधिकतम 128 cm³।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- परिवर्तन की दर: dy/dx; संबंधित दरें dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → वर्धमान, f′(x) < 0 → ह्रासमान
- क्रांतिक बिंदु: f′(c) = 0 या f′(c) परिभाषित नहीं
- प्रथम अवकलज परीक्षण: + → − उच्चिष्ठ, − → + निम्निष्ठ
- द्वितीय अवकलज परीक्षण: f″(c) < 0 उच्चिष्ठ, f″(c) > 0 निम्निष्ठ
हल किए गए उदाहरण
1. वर्ग की भुजा 3 cm/s से बढ़ रही है। भुजा 10 cm होने पर क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s।
2. गुब्बारे की त्रिज्या 2 cm/s से बढ़ रही है। r = 5 cm पर आयतन के परिवर्तन की दर?
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s।
3. x वस्तुओं की लागत C(x) = 0.5x² + 10x + 100 है। x = 20 पर सीमांत लागत?
C′(x) = x + 10, C′(20) = 30। 21वीं वस्तु लगभग ₹30 की पड़ेगी।
4. f(x) = x² − 4x + 1 कहाँ वर्धमान और कहाँ ह्रासमान है?
f′(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2। x < 2 पर f′ < 0 (ह्रासमान); x > 2 पर f′ > 0 (वर्धमान)।
5. f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1 के स्थानीय उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ ज्ञात करो।
f′ = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2। f″ = 12x − 18। f″(1) = −6 < 0 → उच्चिष्ठ f(1) = 6। f″(2) = 6 > 0 → निम्निष्ठ f(2) = 5।
6. [0, 3] पर f(x) = x³ − 3x का निरपेक्ष उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ?
अंदर क्रांतिक बिंदु x = 1। f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18। निरपेक्ष उच्चिष्ठ 18 (x = 3), निम्निष्ठ −2 (x = 1)।
7. दो धन संख्याओं का योग 20 है। गुणनफल सबसे बड़ा कब होगा?
संख्याएँ x और 20 − x। P = 20x − x², P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, P″ = −2 < 0। संख्याएँ 10, 10; गुणनफल 100।
8. आयत का परिमाप 40 m है। दिखाओ कि वर्ग होने पर क्षेत्रफल सबसे बड़ा है।
भुजाएँ x और 20 − x, A = 20x − x², A′ = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0। दोनों भुजाएँ 10 m: वर्ग, क्षेत्रफल 100 m²।
आम गलतियाँ
- सोचना कि f′(c) = 0 हमेशा उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ है। x³ में 0 पर ढाल 0 है पर वक्र चढ़ता ही रहता है।
- बंद अंतराल पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ निकालते समय सिरों के मान न जाँचना।
- शब्द-सवालों में राशि को एक चर में लिखे बिना अवकलन करना।
- दरों में इकाइयाँ मिला देना: r cm में और समय s में हो तो उत्तर cm²/s या cm³/s में।