सरल वक्र के नीचे क्षेत्रफल
y = f(x), x-अक्ष, x = a और x = b के बीच के भाग को पतली खड़ी पट्टियों में काटो। एक पट्टी की ऊँचाई y और चौड़ाई dx, क्षेत्रफल लगभग y dx। सबको जोड़ो:
क्षेत्रफल = ∫ₐᵇ y dx = ∫ₐᵇ f(x) dx (जब f ≥ 0)।
अगर वक्र x = g(y) रूप में है और भाग y = c से y = d तक y-अक्ष के साथ है, तो क्षैतिज पट्टियाँ: क्षेत्रफल = c से d तक ∫ x dy।
जब वक्र x-अक्ष के नीचे जाए
वहाँ ∫f dx ऋणात्मक है। क्षेत्रफल = |नीचे वाले भाग का समाकल| + ऊपर वाले भाग का समाकल। पहले देखो वक्र x-अक्ष को कहाँ काटता है।
सरल रेखा के नीचे क्षेत्रफल
y = mx + c के नीचे x = a से b तक का भाग समलंब या त्रिभुज है, इसलिए ज्यामिति से जाँच हो जाती है। उदाहरण: ∫₀³ (x/2 + 1) dx = 21/4 = ½(1 + 2.5)(3)।
परवलय के अंदर क्षेत्रफल
y² = 4ax दायीं ओर खुलता है और x-अक्ष के प्रति सममित है। ऊपरी आधा y = 2√(ax)। परवलय और x = k से घिरा क्षेत्रफल:
A = 2∫₀ᵏ 2√(ax) dx = (8/3)√a · k^(3/2)।
x² = 4ay (ऊपर खुलने वाला) के लिए खड़ी पट्टियों में y = x²/(4a) या क्षैतिज पट्टियों में x = 2√(ay) लो।
वृत्त का क्षेत्रफल
x² + y² = a²। ऊपरी आधा: y = √(a² − x²)। पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल:
∫₀ᵃ √(a² − x²) dx = [ (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) ]₀ᵃ = πa²/4।
पूरा वृत्त: 4 × πa²/4 = πa²।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल
x²/a² + y²/b² = 1। ऊपरी आधा: y = (b/a)√(a² − x²)। पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (b/a) × πa²/4 = πab/4।
पूरा दीर्घवृत्त: πab। a = b = r हो तो यह वृत्त बन जाता है, πr²।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- क्षेत्रफल = ∫ₐᵇ y dx (खड़ी पट्टियाँ), क्षेत्रफल = c से d तक ∫ x dy (क्षैतिज पट्टियाँ)
- ∫₀ᵃ √(a² − x²) dx = πa²/4
- वृत्त x² + y² = a²: क्षेत्रफल = πa²
- दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1: क्षेत्रफल = πab
- परवलय y² = 4ax और x = k: क्षेत्रफल = (8/3)√a · k^(3/2)
हल किए गए उदाहरण
1. x = 1 से x = 3 तक y = 2x + 1 के नीचे का क्षेत्रफल?
∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³ = 12 − 2 = 10 वर्ग इकाई।
2. y = x², x-अक्ष, x = 0 और x = 3 से घिरा क्षेत्रफल?
∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 9 वर्ग इकाई।
3. y² = 4x और रेखा x = 3 से घिरा क्षेत्रफल?
ऊपरी आधा y = 2√x। A = 2∫₀³ 2√x dx = 4 × (2/3) × 3^(3/2) = 8√3 ≈ 13.86 वर्ग इकाई।
4. पहले चतुर्थांश में x² = 4y, y-अक्ष, y = 1 और y = 4 से घिरा क्षेत्रफल?
क्षैतिज पट्टियाँ: x = 2√y। A = ∫₁⁴ 2√y dy = (4/3)(8 − 1) = 28/3 वर्ग इकाई।
5. वृत्त x² + y² = 16 का क्षेत्रफल?
पहला चतुर्थांश: ∫₀⁴ √(16 − x²) dx = 4π। पूरा: 16π वर्ग इकाई।
6. दीर्घवृत्त x²/9 + y²/4 = 1 का क्षेत्रफल?
a = 3, b = 2। चौथाई = (2/3)∫₀³ √(9 − x²) dx = (2/3)(9π/4) = 3π/2। पूरा = 6π = πab।
7. y = x − 2, x-अक्ष, x = 0 और x = 4 के बीच क्षेत्रफल?
x = 2 पर काटती है। ∫₀² (x − 2) dx = −2, ∫₂⁴ (x − 2) dx = 2। क्षेत्रफल = 2 + 2 = 4 (0 नहीं)।
8. वृत्त x² + y² = 4 का वह भाग जो x = 1 के दायीं ओर है, उसका क्षेत्रफल?
A = 2∫₁² √(4 − x²) dx = 2[π − (√3/2 + π/3)] = 4π/3 − √3 ≈ 2.46 वर्ग इकाई।
आम गलतियाँ
- वक्र x-अक्ष को काटे तब भी चिह्नित समाकल जोड़ देना, जिससे + और − कट जाते हैं। काटने वाले बिंदु पर बाँटो और मापांक लो।
- सममिति लगाने के बाद 2 (या 4) से गुणा भूल जाना।
- वक्र का गलत आधा लेना: y² = 4x का ऊपरी आधा y = 2√x है, y = 4x नहीं।
- पट्टियाँ मिला देना: ∫ … dy में सीमाएँ y के मान होनी चाहिए, x के नहीं।