वृत्त के ज़रूरी भाग
- चाप: वृत्त के किनारे का एक टुकड़ा (पिज़्ज़ा का किनारा)।
- जीवा: वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा।
- त्रिज्यखंड: दो त्रिज्याओं और एक चाप के बीच का भाग। केंद्र पर कोण θ है।
- वृत्तखंड: जीवा और चाप के बीच का भाग।
- लघु = छोटा भाग, दीर्घ = बड़ा भाग।
याद रखो: वृत्त का क्षेत्रफल = πr², परिधि = 2πr।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
पूरा चक्कर 360° है। θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे का θ/360 हिस्सा है, इसलिए क्षेत्रफल का भी उतना ही हिस्सा मिलता है।
त्रिज्यखंड = θ/360 × πr²
- θ = 90° → 1/4 (चतुर्थांश)
- θ = 60° → 1/6
- θ = 120° → 1/3
दीर्घ त्रिज्यखंड = πr² − लघु त्रिज्यखंड।
चाप की लंबाई
किनारे का भी उतना ही हिस्सा: चाप = θ/360 × 2πr।
त्रिज्यखंड का परिमाप = चाप + 2r। दोनों त्रिज्याएँ जोड़ना मत भूलो।
वृत्तखंड का क्षेत्रफल
त्रिज्यखंड में से त्रिभुज OAB निकाल दो, जो बचे वही वृत्तखंड है।
लघु वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज OAB
दीर्घ वृत्तखंड = πr² − लघु वृत्तखंड
तीन कोणों के लिए त्रिभुज
- 90°: समकोण त्रिभुज, क्षेत्रफल = r²/2।
- 60°: OA = OB = r और कोण 60°, तो त्रिभुज समबाहु है। क्षेत्रफल = (√3/4) r²।
- 120°: O से AB पर लंब r/2 है और AB = √3 r। क्षेत्रफल = (√3/4) r²।
जाँच के लिए सामान्य नियम: त्रिभुज = ½ r² sin θ।
घर पर करके देखो
ग्राफ़ पेपर पर 7 सेमी त्रिज्या का वृत्त बनाओ। 90° का टुकड़ा काटो। पूरे खाने गिनो और टूटे खानों का आधा जोड़ो: लगभग 38.5 आएगा। अब टुकड़े को जीवा पर मोड़ो: मोड़ से बाहर निकला भाग वृत्तखंड है, लगभग 14 खाने (38.5 − 24.5)।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- वृत्त का क्षेत्रफल = πr², परिधि = 2πr
- त्रिज्यखंड = θ/360 × πr²
- चाप की लंबाई = θ/360 × 2πr
- त्रिज्यखंड का परिमाप = चाप + 2r
- लघु वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज
- दीर्घ वृत्तखंड = πr² − लघु वृत्तखंड
- त्रिभुज: 90° → r²/2; 60° या 120° → (√3/4) r²
हल किए गए उदाहरण
1. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करो। (π = 22/7)
A = 22/7 × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी।
2. 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के चतुर्थांश (90°) का क्षेत्रफल?
पूरा वृत्त = 22/7 × 196 = 616। चतुर्थांश = 1/4 × 616 = 154 वर्ग सेमी।
3. 21 सेमी त्रिज्या, 60° त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई?
परिधि = 2 × 22/7 × 21 = 132 सेमी। चाप = 1/6 × 132 = 22 सेमी।
4. घड़ी की मिनट की सुई 14 सेमी लंबी है। 5 मिनट में वह कितना क्षेत्रफल घेरती है?
60 मिनट = 360°, तो 5 मिनट = 30°। क्षेत्रफल = 1/12 × 616 ≈ 51.33 वर्ग सेमी।
5. 10 सेमी त्रिज्या में जीवा केंद्र पर 90° बनाती है। लघु और दीर्घ वृत्तखंड? (π = 3.14)
त्रिज्यखंड = 1/4 × 314 = 78.5। त्रिभुज = ½ × 10 × 10 = 50। लघु वृत्तखंड = 28.5 वर्ग सेमी। दीर्घ = 314 − 28.5 = 285.5 वर्ग सेमी।
6. त्रिज्या 12 सेमी, कोण 60°। लघु वृत्तखंड? (π = 3.14, √3 = 1.73)
त्रिज्यखंड = 1/6 × 3.14 × 144 = 75.36। त्रिभुज (समबाहु) = 1.73 × 36 = 62.28। वृत्तखंड = 13.08 वर्ग सेमी।
7. त्रिज्या 21 सेमी, कोण 120°। लघु वृत्तखंड? (π = 22/7, √3 = 1.73)
त्रिज्यखंड = 1/3 × 1386 = 462। त्रिभुज = 1.73 × 110.25 = 190.73। वृत्तखंड = 462 − 190.73 = 271.27 वर्ग सेमी।
आम गलतियाँ
- 360 से भाग देना भूल जाना। θ/360 हिस्सा बताता है, θ अकेला नहीं।
- क्षेत्रफल में 2πr या चाप में πr² लगाना। क्षेत्रफल में r² होता है, लंबाई में r।
- त्रिज्यखंड को ही वृत्तखंड लिख देना। त्रिभुज घटाना ज़रूरी है।
- त्रिज्यखंड के परिमाप में दोनों त्रिज्याएँ न जोड़ना।