औज़ार: दूरी, मध्य-बिंदु और ढलान
बिंदु A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के लिए:
- दूरी: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)। यह AB के नीचे बने समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस ही है।
- मध्य-बिंदु: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2), यानी निर्देशांकों का औसत।
- ढलान (प्रवणता): m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = ऊपर ÷ दाएँ।
- समांतर रेखाओं की ढलान बराबर होती है। लंब रेखाओं की ढलानों का गुणनफल −1 होता है (m₂ = −1/m₁)। क्षैतिज रेखा (ढलान 0) ऊर्ध्वाधर रेखा (ढलान अपरिभाषित) पर लंब है।
- रेखाखंड को m : n में बाँटने वाला बिंदु (A से B की ओर): P = ((n x₁ + m x₂)/(m + n), (n y₁ + m y₂)/(m + n))।
निर्देशांक प्रमाण कैसे लिखें
- रखो: आकृति को ग्रिड पर रखो। हो सके तो एक कोना मूल बिंदु पर और एक भुजा अक्ष पर; संख्याएँ आसान रहती हैं।
- तय करो कि क्या दिखाना है: बराबर लंबाई (दूरी), समांतर या लंब भुजाएँ (ढलान), समद्विभाजित भुजा (मध्य-बिंदु)।
- गणना करो: हर मान साफ़-साफ़ निकालो।
- निष्कर्ष लिखो: एक वाक्य जो संख्याओं को परिभाषा से जोड़े, जैसे "दोनों जोड़ी आमने-सामने की भुजाओं की ढलान बराबर है, इसलिए PQRS समांतर चतुर्भुज है।"
काम की जाँचें: समांतर चतुर्भुज = दोनों जोड़ी सम्मुख भुजाएँ समांतर (या विकर्णों का मध्य-बिंदु एक); आयत = समांतर चतुर्भुज + एक समकोण (या बराबर विकर्ण); समचतुर्भुज = चारों भुजाएँ बराबर; वर्ग = आयत + समचतुर्भुज; समकोण त्रिभुज = दो भुजाओं की ढलानों का गुणनफल −1 (या पाइथागोरस)।
सामान्य प्रमाण में अक्षर लेते हैं: आयत को (0, 0), (a, 0), (a, b), (0, b) पर रखो। दोनों विकर्णों की लंबाई √(a² + b²) है, इससे सिद्ध होता है कि हर आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
निर्देशांक तल पर वृत्त
वृत्त वे सभी बिंदु हैं जो केंद्र (h, k) से r दूरी पर हैं। दूरी सूत्र से:
(x − h)² + (y − k)² = r² (केंद्र मूल बिंदु पर: x² + y² = r²)
- क्या बिंदु वृत्त पर है? उसके निर्देशांक रखो। बायाँ पक्ष r² के बराबर → वृत्त पर; कम → अंदर; ज़्यादा → बाहर।
- पूर्ण वर्ग बनाना: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 में दोनों ओर (D/2)² और (E/2)² जोड़ो: (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F।
- स्पर्श रेखा: स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है, तो उसकी ढलान = −1 ÷ (त्रिज्या की ढलान)।
निर्देशांकों से वृत्त के प्रमेय सिद्ध करना
अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है। वृत्त x² + y² = r² लो, व्यास A(−r, 0), B(r, 0), और वृत्त पर कोई और बिंदु P(x, y)। PA की ढलान = y/(x + r), PB की ढलान = y/(x − r)। गुणनफल = y²/(x² − r²)। क्योंकि x² + y² = r², तो y² = r² − x² = −(x² − r²), इसलिए गुणनफल −1 है। तो PA ⟂ PB और ∠APB = 90°।
केंद्र से जीवा पर डाला लंब उसे समद्विभाजित करता है। x² + y² = r² पर (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच जीवा लो। दिखाओ कि O से जीवा के मध्य-बिंदु की ढलान × जीवा की ढलान = −1। (अभ्यास में करके देखो।)
करके देखो: ग्राफ़ पेपर पर प्रमाण
ग्राफ़ पेपर पर A(0, 0), B(6, 0), C(8, 4), D(2, 4) लगाओ। पहले अंदाज़ा लगाओ: यह कौन-सा चतुर्भुज है? अब सिद्ध करो: चारों ढलान और दो भुजाओं की लंबाई निकालो। (उत्तर: AB और DC की ढलान 0, AD और BC की ढलान 2 → समांतर चतुर्भुज; AB = 6 पर AD = √20, तो समचतुर्भुज नहीं।) फिर 3D के खेल वाले चरण में P की दूरी 4 और 6 करो और देखो कि ∠APB 90° से ज़्यादा या कम हो जाता है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- दूरी: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- मध्य-बिंदु: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- ढलान: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
- समांतर: m₁ = m₂; लंब: m₁ × m₂ = −1
- AB को m : n में बाँटने वाला बिंदु: ((n x₁ + m x₂)/(m + n), (n y₁ + m y₂)/(m + n))
- वृत्त: (x − h)² + (y − k)² = r²
- व्यापक रूप x² + y² + Dx + Ey + F = 0 → केंद्र (−D/2, −E/2), r = √((D/2)² + (E/2)² − F)
हल किए गए उदाहरण
1. A(−3, −2) और B(3, 6) की दूरी और मध्य-बिंदु निकालो।
AB = √((3 − (−3))² + (6 − (−2))²) = √(36 + 64) = √100 = 10। M = ((−3 + 3)/2, (−2 + 6)/2) = (0, 2)।
2. A(1, 2) से B(10, 14) को 1 : 2 में बाँटने वाला बिंदु निकालो।
P = ((2 × 1 + 1 × 10)/3, (2 × 2 + 1 × 14)/3) = (12/3, 18/3) = (4, 6)। जाँच: P, A से एक-तिहाई रास्ते पर है।
3. सिद्ध करो कि P(−5, 1), Q(−3, −3), R(5, 1), S(3, 5) आयत बनाते हैं।
ढलान: PQ = (−3 − 1)/(−3 + 5) = −2; QR = (1 + 3)/(5 + 3) = ½; RS = (5 − 1)/(3 − 5) = −2; SP = (1 − 5)/(−5 − 3) = ½। सम्मुख भुजाओं की ढलान बराबर → समांतर चतुर्भुज। PQ × QR = −2 × ½ = −1 → समकोण। समकोण वाला समांतर चतुर्भुज आयत है।
4. क्या बिंदु (−6, 8) उस वृत्त पर है जिसका केंद्र मूल बिंदु है और जो (10, 0) से होकर जाता है?
त्रिज्या = 10, तो वृत्त x² + y² = 100। (−6, 8) के लिए: 36 + 64 = 100। हाँ, बिंदु वृत्त पर है।
5. x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 का केंद्र और त्रिज्या निकालो।
समूह बनाओ: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 3। 9 और 4 जोड़ो: (x − 3)² + (y + 2)² = 16। केंद्र (3, −2), त्रिज्या 4।
6. x² + y² = 25 के बिंदु (3, 4) पर स्पर्श रेखा का समीकरण निकालो।
त्रिज्या की ढलान = 4/3। स्पर्श रेखा लंब है, तो ढलान = −3/4। y − 4 = −¾(x − 3) → 4y − 16 = −3x + 9 → 3x + 4y = 25।
7. सिद्ध करो कि किसी भी आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
आयत को O(0, 0), A(a, 0), B(a, b), C(0, b) पर रखो। OB = √(a² + b²) और AC = √((0 − a)² + (b − 0)²) = √(a² + b²)। ये हर a और b के लिए बराबर हैं, इसलिए हर आयत के विकर्ण बराबर हैं।
आम गलतियाँ
- ढलान सूत्र में ऊपर और नीचे अलग क्रम से घटाना। क्रम वही रखो: (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)।
- लंब ढलानों को सिर्फ़ 'उलटे चिह्न' वाली समझना। वे ऋणात्मक व्युत्क्रम हैं: 2 और −½, न कि 2 और −2।
- (x − 3)² + (y + 2)² = 16 का केंद्र (−3, 2) पढ़ना। चिह्न उलटते हैं: केंद्र (3, −2) है। और r = 4, 16 नहीं।
- प्रमाण को सिर्फ़ संख्याओं पर ख़त्म करना। अंत में हमेशा एक वाक्य लिखो कि संख्याएँ क्या सिद्ध करती हैं।