रेखा की ढाल
ढाल (slope या प्रवणता) बताती है कि रेखा कितनी खड़ी है। रेखा पर एक बिंदु से दूसरे तक चलो। y में बदलाव = ऊपर चढ़ना। x में बदलाव = दाएँ चलना।
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)। रेखा धनात्मक x-अक्ष से कोण θ बनाए तो m = tan θ (θ ≠ 90°)।
- दाएँ जाते हुए ऊपर उठे: m > 0। नीचे जाए: m < 0।
- सपाट रेखा (x-अक्ष के समांतर): m = 0।
- खड़ी रेखा (y-अक्ष के समांतर): ढाल परिभाषित नहीं।
समांतर, लंब और संरेख
दो रेखाएँ समांतर हैं अगर ढालें बराबर हों: m₁ = m₂। लंब हैं अगर m₁ × m₂ = −1 (कोई रेखा खड़ी न हो)। तीन बिंदु A, B, C संरेख (एक रेखा पर) हैं अगर AB की ढाल = BC की ढाल।
दो रेखाओं के बीच का कोण
दो कटती रेखाएँ दो कोण बनाती हैं जिनका जोड़ 180° है। ढालें m₁ और m₂ हों और 1 + m₁m₂ ≠ 0, तो न्यून कोण θ:
tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
दूसरा कोण 180° − θ। अगर 1 + m₁m₂ = 0 तो रेखाएँ लंब हैं (θ = 90°)।
रेखा के समीकरण के रूप
रेखा का समीकरण एक नियम है जिसे रेखा का हर बिंदु मानता है, और कोई दूसरा बिंदु नहीं।
- x-अक्ष के समांतर: y = b। y-अक्ष के समांतर: x = a। (x-अक्ष खुद y = 0 है।)
- बिंदु-ढाल रूप: y − y₁ = m(x − x₁)।
- ढाल-अंतःखंड रूप: y = mx + c, c = y-अंतःखंड। (x-अंतःखंड d हो तो y = m(x − d)।)
- दो-बिंदु रूप: y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)](x − x₁)।
- अंतःखंड रूप: x/a + y/b = 1।
हर रेखा को Ax + By + C = 0 (व्यापक रूप) में लिख सकते हैं। ढाल = −A/B, y-अंतःखंड = −C/B।
बिंदु की रेखा से दूरी
बिंदु से रेखा तक सबसे छोटा रास्ता लंब है। बिंदु P(x₁, y₁) और रेखा Ax + By + C = 0 के लिए:
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
दो समांतर रेखाओं Ax + By + C₁ = 0 और Ax + By + C₂ = 0 के बीच दूरी: d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)। पहले दोनों में A और B एक जैसे कर लो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ
- Parallel: m₁ = m₂; Perpendicular: m₁m₂ = −1
- tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|
- y − y₁ = m(x − x₁)
- y = mx + c
- y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)](x − x₁)
- x/a + y/b = 1
- d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)
- d (parallel lines) = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)
हल किए गए उदाहरण
1. (2, −3) और (6, 5) से जाने वाली रेखा की ढाल और x-अक्ष से कोण निकालो।
चरण 1: m = (5 − (−3))/(6 − 2) = 8/4 = 2। चरण 2: tan θ = 2, तो θ ≈ 63.4°।
2. दिखाओ कि A(1, 2), B(3, 6), C(4, 8) संरेख हैं।
चरण 1: AB की ढाल = (6 − 2)/(3 − 1) = 2। चरण 2: BC की ढाल = (8 − 6)/(4 − 3) = 2। चरण 3: ढालें बराबर और B साझा, इसलिए तीनों एक रेखा पर।
3. (−1, 4) से जाने वाली, ढाल −3 वाली रेखा का समीकरण?
चरण 1: y − 4 = −3(x + 1)। चरण 2: y − 4 = −3x − 3। चरण 3: y = −3x + 1, यानी 3x + y − 1 = 0।
4. (1, −1) और (3, 5) से जाने वाली रेखा का समीकरण?
चरण 1: m = (5 + 1)/(3 − 1) = 3। चरण 2: y + 1 = 3(x − 1)। चरण 3: y = 3x − 4, यानी 3x − y − 4 = 0।
5. रेखा x-अक्ष पर 6 और y-अक्ष पर −4 अंतःखंड काटती है। समीकरण?
चरण 1: x/6 + y/(−4) = 1। चरण 2: 12 से गुणा: 2x − 3y = 12। चरण 3: 2x − 3y − 12 = 0।
6. y = 2x + 1 और y = −3x + 5 के बीच न्यून कोण?
चरण 1: m₁ = 2, m₂ = −3। चरण 2: tan θ = |(−3 − 2)/(1 − 6)| = 1। चरण 3: θ = 45°।
7. बिंदु (2, 3) की रेखा 5x − 12y + 7 = 0 से दूरी?
चरण 1: d = |10 − 36 + 7| / √(25 + 144)। चरण 2: = 19/13। चरण 3: d ≈ 1.46 इकाई।
8. समांतर रेखाओं 3x − 4y + 7 = 0 और 6x − 8y − 1 = 0 के बीच दूरी?
चरण 1: दूसरी को 2 से भाग दो: 3x − 4y − 1/2 = 0। चरण 2: d = |7 + 1/2| / 5 = (15/2)/5। चरण 3: d = 1.5 इकाई।
9. (2, 3) से जाने वाली और 4x − 3y + 5 = 0 पर लंब रेखा?
चरण 1: दी गई रेखा की ढाल = 4/3। चरण 2: लंब की ढाल = −3/4। चरण 3: y − 3 = −3/4 (x − 2) → 3x + 4y − 18 = 0।
आम गलतियाँ
- ढाल को दाएँ ÷ ऊपर लिख देना। हमेशा (y में बदलाव) ÷ (x में बदलाव)।
- क्रम उलट देना: (y₂ − y₁)/(x₁ − x₂)। ऊपर-नीचे दोनों में एक ही क्रम रखो।
- समांतर रेखाओं में A और B बराबर किए बिना |C₁ − C₂| लगा देना।
- दूरी सूत्र में | | भूल जाना और दूरी ऋणात्मक लिख देना।