हर बिंदु का पता: (x, y)
दो संख्या रेखाएँ लो जो एक-दूसरे को समकोण पर काटें। लेटी हुई रेखा x-अक्ष है। खड़ी रेखा y-अक्ष है। ये मूल बिंदु O(0, 0) पर मिलती हैं।
हर बिंदु के दो नंबर होते हैं। पहला नंबर (x, इसे भुज कहते हैं) बताता है कि दाएँ या बाएँ कितना जाना है। दूसरा नंबर (y, इसे कोटि कहते हैं) बताता है कि ऊपर या नीचे कितना जाना है। (3, 2) का मतलब: 3 दाएँ, फिर 2 ऊपर।
दूरी सूत्र
A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) लो। A से सीधे चलो जब तक B के ठीक नीचे न पहुँचो। यह x-अंतर है: x₂ − x₁। फिर सीधे ऊपर B तक चलो। यह y-अंतर है: y₂ − y₁। दोनों रास्ते समकोण पर मिलते हैं, इसलिए AB एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
पाइथागोरस से: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]।
अंतर ऋणात्मक आए तो चिंता नहीं, वर्ग करने पर वह धनात्मक हो जाता है। मूल बिंदु से P(x, y) की दूरी √(x² + y²) है।
दूरी सूत्र के उपयोग
- संरेख (collinear) जाँच: तीन बिंदु एक रेखा पर हैं, अगर दो छोटी दूरियों का जोड़ बड़ी दूरी के बराबर हो।
- त्रिभुज का प्रकार: तीनों भुजाएँ निकालो। बराबर भुजाएँ हों तो समद्विबाहु या समबाहु; a² + b² = c² हो तो समकोण।
- समदूरस्थ बिंदु: P, A और B से बराबर दूर हो तो PA = PB लिखो, दोनों ओर वर्ग करो और हल करो।
विभाजन सूत्र (अंतः विभाजन)
बिंदु P रेखाखंड AB पर, A और B के बीच है। अगर AP : PB = m : n, तो कहते हैं कि P, AB को m : n के अनुपात में अंतः विभाजित करता है।
सोचो AB को m + n बराबर टुकड़ों में काटा। P, A से m टुकड़े आगे है। यानी P, A से B की ओर m/(m + n) हिस्सा चला। इससे मिलता है
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
यह क्यों सही है: AP और PB के नीचे छोटे समकोण त्रिभुज बनाओ। उनके कोण बराबर हैं, इसलिए वे समरूप हैं और उनके अंतर m : n में हैं। (देखो समरूप त्रिभुज।)
मध्य-बिंदु सूत्र
m = n हो तो P मध्य-बिंदु है: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)। बस x का औसत और y का औसत लो।
अनुपात निकालना
अनुपात न पता हो तो उसे k : 1 मानो। सूत्र में रखो, दिए गए x (या y) से मिलाओ और k निकालो। x-अक्ष AB को कहाँ काटता है, यह जानने के लिए y = 0 रखो।
समत्रिभाजन बिंदु
दो बिंदु AB को तीन बराबर भागों में बाँटते हैं। वे AB को 1 : 2 और 2 : 1 में बाँटते हैं।
खुद करके देखो (प्रयोग)
घर पर: टाइल वाले फ़र्श पर टेप से दो रेखाएँ x और y अक्ष बनाओ। टाइल (1, 1) पर खड़े हो जाओ। टाइल (4, 5) पर एक चप्पल रखो। 3 टाइल आड़े और 4 टाइल ऊपर गिनो। अब खुद से चप्पल तक एक डोरी सीधी तानो और टाइल की चौड़ाई से नापो: यह 5 आएगी। तुमने दूरी सूत्र जाँच लिया।
3D में: आखिरी स्टेप पर जाओ। B को (7, 1) और m : n को 1 : 1 करो। देखने से पहले P का अंदाज़ा लगाओ। (उत्तर: (4, 1), मध्य-बिंदु।)
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- दूरी AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- मूल बिंदु से दूरी = √(x² + y²)
- विभाजन सूत्र (m : n, अंतः): P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- मध्य-बिंदु = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- अनुपात अज्ञात हो: k : 1 मानकर k निकालो
हल किए गए उदाहरण
1. A(1, 1) और B(4, 5) के बीच की दूरी निकालो।
x-अंतर = 4 − 1 = 3। y-अंतर = 5 − 1 = 4। AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 इकाई।
2. बिंदु P(−6, 8) की मूल बिंदु से दूरी निकालो।
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 इकाई।
3. A(2, −3) और B(6, 7) का मध्य-बिंदु निकालो।
x = (2 + 6)/2 = 4। y = (−3 + 7)/2 = 2। मध्य-बिंदु = (4, 2)।
4. A(1, 1) और B(7, 4) को 2 : 1 में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु निकालो।
m = 2, n = 1। x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5। y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3। P = (5, 3)।
5. क्या A(1, 2), B(3, 6) और C(4, 8) एक सीधी रेखा पर हैं?
AB = √(4 + 16) = 2√5। BC = √(1 + 4) = √5। AC = √(9 + 36) = 3√5। AB + BC = 3√5 = AC। हाँ, ये संरेख हैं।
6. x-अक्ष पर वह बिंदु निकालो जो A(2, −5) और B(−2, 9) से समदूरस्थ हो।
बिंदु P(x, 0) है। PA² = PB²: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81। x² − 4x + 29 = x² + 4x + 85। −8x = 56, x = −7। P = (−7, 0)।
7. बिंदु (−1, 6), A(−3, 10) और B(6, −8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है?
अनुपात k : 1 मानो। x = (6k − 3)/(k + 1) = −1। 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7। अनुपात = 2 : 7। y से जाँच: (−16 + 70)/9 = 6 ✓।
8. A(2, −2) और B(−7, 4) को जोड़ने वाले रेखाखंड के समत्रिभाजन बिंदु निकालो।
P, AB को 1 : 2 में बाँटता है: P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0)। Q, 2 : 1 में: Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2)।
आम गलतियाँ
- आखिर में वर्गमूल लेना भूल जाना: √25 = 5, 25 नहीं।
- विभाजन सूत्र में m और n उलट देना। m दूसरे बिंदु (x₂) के साथ, n पहले बिंदु (x₁) के साथ।
- दूरी सूत्र में (x₂ − x₁) की जगह (x₂ + x₁) लिखना। दूरी में अंतर चाहिए, इसलिए घटाओ।
- ऋणात्मक अंतर का वर्ग गलत करना: (−3)² = 9, −9 नहीं।