निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक तल
समतल में दो संख्याएँ बिंदु तय करती हैं। अंतरिक्ष में तीन चाहिए। तीन रेखाएँ जो एक बिंदु O (मूल बिंदु) पर मिलें और आपस में लंब हों: x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष।
हर दो अक्ष एक निर्देशांक तल बनाते हैं:
- XY-तल: हर बिंदु पर z = 0।
- YZ-तल: x = 0।
- ZX-तल: y = 0।
अष्टांश
तीनों तल अंतरिक्ष को आठ अष्टांशों में बाँटते हैं। निर्देशांकों के चिह्न अष्टांश बताते हैं:
| अष्टांश | I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | + | − | − | + | + | − | − | + |
| y | + | + | − | − | + | + | − | − |
| z | + | + | + | + | − | − | − | − |
पहले चार XY-तल के ऊपर, आखिरी चार नीचे।
अंतरिक्ष में बिंदु के निर्देशांक
बिंदु को P(x, y, z) लिखते हैं। O से x-अक्ष पर x इकाई, फिर y-अक्ष के समांतर y इकाई, फिर z-अक्ष के समांतर z इकाई चलो।
दूसरी तरह: x = YZ-तल से P की दूरी, y = ZX-तल से, z = XY-तल से (चिह्न सहित)।
- मूल बिंदु: (0, 0, 0)।
- x-अक्ष पर (x, 0, 0); y-अक्ष पर (0, y, 0); z-अक्ष पर (0, 0, z)।
- XY-तल पर (x, y, 0); YZ-तल पर (0, y, z); ZX-तल पर (x, 0, z)।
- P(x, y, z) से XY-तल पर लंब का पाद (x, y, 0)।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी
P(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) लो। अक्षों के समांतर किनारों वाला डिब्बा बनाओ, P और Q आमने-सामने के कोनों पर। किनारे |x₂ − x₁|, |y₂ − y₁|, |z₂ − z₁|।
फ़र्श पर: PN² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²। ऊपर: PQ² = PN² + (z₂ − z₁)²। इसलिए
PQ = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
मूल से दूरी: OP = √(x² + y² + z²)। इस सूत्र से संरेखता (AB + BC = AC) और त्रिभुज का प्रकार भी जाँच सकते हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- XY-तल: z = 0; YZ-तल: x = 0; ZX-तल: y = 0
- x-अक्ष: (x, 0, 0); y-अक्ष: (0, y, 0); z-अक्ष: (0, 0, z)
- PQ = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
- OP = √(x² + y² + z²)
हल किए गए उदाहरण
1. (−3, 1, −2) किस अष्टांश में है?
चरण 1: चिह्न x −, y +, z −। चरण 2: (−, +, −) = अष्टांश VI।
2. P(1, −3, 4) और Q(−4, 1, 2) के बीच दूरी?
चरण 1: Δx = −5, Δy = 4, Δz = −2। चरण 2: PQ² = 25 + 16 + 4 = 45। चरण 3: PQ = 3√5 ≈ 6.71।
3. P(2, 3, 6) की मूल से दूरी?
चरण 1: OP² = 4 + 9 + 36 = 49। चरण 2: OP = 7।
4. दिखाओ कि A(−2, 3, 5), B(1, 2, 3), C(7, 0, −1) संरेख हैं।
चरण 1: AB = √14। चरण 2: BC = 2√14, AC = 3√14। चरण 3: AB + BC = AC, इसलिए संरेख।
5. दिखाओ कि (0, 7, −10), (1, 6, −6), (4, 9, −6) समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
चरण 1: AB = √18। चरण 2: BC = √18। चरण 3: AC = 6। दो भुजाएँ बराबर → समद्विबाहु।
6. x-अक्ष पर वह बिंदु जो A(1, 2, 3) और B(3, 5, −2) से बराबर दूर है?
चरण 1: बिंदु (x, 0, 0)। चरण 2: (x − 1)² + 13 = (x − 3)² + 29। चरण 3: 4x = 24 → x = 6। बिंदु (6, 0, 0)।
7. A(3, 4, 5), B(−1, 3, −7) हों तो PA² + PB² = 2k² वाले बिंदुओं P का समीकरण?
चरण 1: PA² और PB² लिखो। चरण 2: जोड़ो: 2x² + 2y² + 2z² − 4x − 14y + 4z + 109 = 2k²। चरण 3: 2(x² + y² + z²) − 4x − 14y + 4z + 109 − 2k² = 0।
आम गलतियाँ
- कौन-से तल में कौन-सा निर्देशांक 0, यह उलझाना: XY-तल में z = 0 (x = 0 नहीं)।
- तीसरा वर्ग भूलकर 2D वाला दूरी सूत्र लगा देना।
- अष्टांश बताते समय चिह्न गलत पढ़ना; x, फिर y, फिर z जाँचो।
- ऋणात्मक अंतर का वर्ग ऋणात्मक लिख देना: (−5)² = 25।