पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
समकोण त्रिभुज में एक कोण ठीक 90° का होता है। इस कोण के सामने वाली भुजा सबसे लंबी होती है और इसे कर्ण (c) कहते हैं। बाकी दो भुजाएँ a और b हैं, जिन्हें लंब और आधार भी कहते हैं।
अगर हर भुजा पर एक वर्ग बनाएँ, तो कर्ण वाले बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दोनों छोटे वर्गों के क्षेत्रफल के जोड़ के बिल्कुल बराबर होता है।
यह क्यों सही है? चित्र से प्रमाण
एक ही समकोण त्रिभुज की चार कॉपी लें और उन्हें (a + b) भुजा वाले बड़े वर्ग के अंदर रखें। बीच की खाली जगह c भुजा का एक तिरछा वर्ग है, जिसका क्षेत्रफल c² है।
अब उन्हीं चार त्रिभुजों को उसी बड़े वर्ग में दूसरी तरह रखें। अब खाली जगह दो वर्ग बन जाती है: एक a² का और एक b² का। बड़ा वर्ग और चार त्रिभुज नहीं बदले, इसलिए खाली जगह भी बराबर है: a² + b² = c²। एनिमेशन चलाकर देखें।
पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
यह प्रमेय उल्टा भी सही है। अगर किसी त्रिभुज की भुजाएँ a² + b² = c² को पूरा करती हैं, तो c के सामने वाला कोण 90° होगा। मिस्त्री 3-4-5 की रस्सी से इसी तरह सीधा कोना बनाते हैं।
पाइथागोरस त्रिक
जो पूर्ण संख्याएँ इस नियम में फिट होती हैं, उन्हें पाइथागोरस त्रिक कहते हैं: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 और 7-24-25। किसी त्रिक का गुणज (6-8-10, 9-12-15) भी त्रिक होता है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a² + b² = c² (c कर्ण है)
- c = √(a² + b²)
- a = √(c² − b²)
- कर्ण = 90° कोण के सामने की भुजा, हमेशा सबसे लंबी
हल किए गए उदाहरण
1. समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ 6 cm और 8 cm हैं। कर्ण ज्ञात करें।
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, इसलिए c = √100 = 10 cm।
2. 13 m लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है। उसका निचला सिरा दीवार से 5 m दूर है। सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?
सीढ़ी कर्ण है। h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, इसलिए h = 12 m।
3. क्या 7, 10 और 12 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण है?
7² + 10² = 49 + 100 = 149, लेकिन 12² = 144। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए यह समकोण त्रिभुज नहीं है।
आम गलतियाँ
- कर्ण को छोटी भुजाओं के साथ जोड़ देना। सबसे लंबी भुजा हमेशा अकेली रखें: c² = a² + b²।
- अंत में वर्गमूल लेना भूल जाना: c² = 100 का मतलब c = 10 है, 100 नहीं।
- ऐसे त्रिभुज पर प्रमेय लगाना जिसमें समकोण नहीं है।
- √(a² + b²) = a + b लिखना। वर्गमूल को जोड़ पर अलग-अलग नहीं बाँट सकते।