सदिश का परिमाण और दिशा
सदिश वह राशि है जिसमें माप और दिशा दोनों हों, जैसे धक्का, वेग, एक जगह से दूसरी जगह जाना। अदिश में सिर्फ़ माप होता है, जैसे द्रव्यमान या समय।
सदिश को तीर से दिखाते हैं: प्रारंभिक बिंदु (पूँछ) से अंतिम बिंदु (सिर) तक। तीर की लंबाई परिमाण |a| है। a = xî + yĵ + zk̂ के लिए |a| = √(x² + y² + z²) — यह दो बार पाइथागोरस है।
दिशा उन कोणों से बताते हैं जो तीर धनात्मक x, y, z अक्षों से बनाता है।
दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात
तीर x, y, z अक्षों से α, β, γ कोण बनाए तो l = cos α, m = cos β, n = cos γ उसके दिक्-कोसाइन हैं।
- a = xî + yĵ + zk̂ के लिए: l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|।
- हमेशा l² + m² + n² = 1।
l, m, n के समानुपाती कोई भी तीन संख्याएँ दिक्-अनुपात कहलाती हैं। घटक x, y, z खुद दिक्-अनुपात हैं। अनुपात a, b, c से कोसाइन पाने के लिए हर एक को √(a² + b² + c²) से भाग दो।
काम की बात: a की दिशा में मात्रक सदिश = lî + mĵ + nk̂।
सदिशों के प्रकार
- शून्य सदिश 0: लंबाई 0, दिशा तय नहीं।
- मात्रक सदिश â: लंबाई 1। â = a/|a|। î, ĵ, k̂ अक्षों की दिशा में मात्रक सदिश हैं।
- सह-आदिम सदिश: एक ही प्रारंभिक बिंदु।
- संरेख (समांतर) सदिश: एक ही या समांतर रेखाओं पर; b = k a।
- समान (बराबर) सदिश: लंबाई और दिशा एक जैसी, कहीं भी बने हों।
- ऋण सदिश −a: लंबाई वही, दिशा उल्टी।
स्थिति सदिश और घटक
बिंदु P(x, y, z) का स्थिति सदिश मूल बिंदु O से P तक का तीर है: OP = xî + yĵ + zk̂। इसकी लंबाई दूरी OP है।
xî, yĵ, zk̂ सदिश घटक हैं और x, y, z अदिश घटक।
दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश
P₁ से P₂ तक: P₁P₂ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂ — हमेशा "सिर घटा पूँछ"।
सदिशों का योग और अदिश से गुणा
त्रिभुज नियम: b की पूँछ a के सिर पर रखो; a की पूँछ से b के सिर तक का तीर a + b है। समांतर चतुर्भुज नियम भी यही कहता है: a और b एक बिंदु से खींचो, विकर्ण a + b है।
- घटकों में: î वाले, ĵ वाले, k̂ वाले हिस्से अलग-अलग जोड़ो।
- क्रमविनिमेय: a + b = b + a; साहचर्य: (a + b) + c = a + (b + c)।
- a + (−a) = 0, a − b = a + (−b)।
अदिश गुणज
ka की लंबाई |k||a|। k > 0 तो दिशा वही, k < 0 तो उल्टी, k = 0 तो शून्य सदिश। k(a + b) = ka + kb।
विभाजन सूत्र
A और B के स्थिति सदिश a और b हों।
- अंतः विभाजन m : n: r = (m b + n a)/(m + n)।
- बाह्य विभाजन m : n: r = (m b − n a)/(m − n), m ≠ n।
- मध्य-बिंदु: r = (a + b)/2।
क्यों: AP : PB = m : n यानी n(r − a) = m(b − r)। r निकालो। याद रखो: m दूर वाले सिरे b के साथ जाता है।
त्रिभुज का केंद्रक: (a + b + c)/3।
अदिश (बिंदु) गुणनफल और उपयोग
a·b = |a||b| cos θ, θ (0 ≤ θ ≤ π) दोनों के बीच का कोण। उत्तर एक संख्या है।
- घटकों में: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃।
- î·î = ĵ·ĵ = k̂·k̂ = 1; î·ĵ = ĵ·k̂ = k̂·î = 0।
- a·b = 0 ⇔ a ⊥ b। a·a = |a|²।
उपयोग
- कोण: cos θ = a·b / (|a||b|)।
- प्रक्षेप a का b पर: a·b/|b| (b पर a की "परछाईं")।
- बल द्वारा कार्य: W = F·d।
सदिश (क्रॉस) गुणनफल और उपयोग
a × b = |a||b| sin θ n̂, n̂ वह मात्रक सदिश है जो a और b दोनों पर लंब है, दाएँ हाथ के नियम से (उँगलियाँ a से b की ओर मोड़ो, अँगूठा n̂)।
- î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ; î × î = 0।
- b × a = −(a × b)।
- a × b = 0 ⇔ a ∥ b।
- घटकों में 3 × 3 सारणिक: पहली पंक्ति î ĵ k̂, दूसरी a₁ a₂ a₃, तीसरी b₁ b₂ b₃।
उपयोग
- समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = |a × b|; विकर्ण d₁, d₂ दिए हों तो ½|d₁ × d₂|।
- त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = ½|AB × AC|।
- दो सदिशों पर लंब सदिश; sin θ = |a × b| / (|a||b|)।
बोर्ड परीक्षा: यह इकाई (3D ज्यामिति के साथ) लगभग 14 अंक की है; कोण/प्रक्षेप, क्रॉस से क्षेत्रफल, लंब मात्रक सदिश और विभाजन सूत्र के प्रश्न आम हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- |a| = √(x² + y² + z²)
- l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|; l² + m² + n² = 1
- â = a/|a|
- P₁P₂ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂
- अंतः: r = (mb + na)/(m + n); बाह्य: r = (mb − na)/(m − n)
- a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- a का b पर प्रक्षेप = a·b/|b|
- |a × b| = |a||b|sinθ; त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½|a × b|
हल किए गए उदाहरण
1. a = 2î − 3ĵ + 6k̂ का परिमाण और दिक्-कोसाइन निकालो।
चरण 1: |a| = √(4 + 9 + 36) = 7। चरण 2: l = 2/7, m = −3/7, n = 6/7। जाँच: 4/49 + 9/49 + 36/49 = 1 ✓।
2. a = î + 2ĵ − k̂ और b = 2î − ĵ + 3k̂ हों तो a + b की दिशा में मात्रक सदिश?
चरण 1: a + b = 3î + ĵ + 2k̂। चरण 2: |a + b| = √14। चरण 3: मात्रक सदिश = (3î + ĵ + 2k̂)/√14।
3. P(2, −1, 3) और Q(4, 5, −3) को 2 : 1 में बाह्य रूप से बाँटने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश?
चरण 1: r = (2q − p)/(2 − 1)। चरण 2: 2q = (8, 10, −6)। चरण 3: 2q − p = (6, 11, −9)। r = 6î + 11ĵ − 9k̂।
4. a = î + ĵ − k̂ और b = î − ĵ + k̂ के बीच कोण?
चरण 1: a·b = 1 − 1 − 1 = −1। चरण 2: |a| = |b| = √3। चरण 3: cosθ = −1/3, θ = cos⁻¹(−1/3) ≈ 109.5°।
5. a = 2î + 3ĵ + 2k̂ का b = î + 2ĵ + k̂ पर प्रक्षेप?
चरण 1: a·b = 2 + 6 + 2 = 10। चरण 2: |b| = √6। चरण 3: प्रक्षेप = 10/√6 ≈ 4.08।
6. a = 2î + 3ĵ − k̂ और b = î − ĵ + 2k̂ दोनों पर लंब मात्रक सदिश?
चरण 1: a × b = î(6 − 1) − ĵ(4 + 1) + k̂(−2 − 3) = 5î − 5ĵ − 5k̂। चरण 2: |a × b| = 5√3। चरण 3: उत्तर ±(î − ĵ − k̂)/√3।
7. शीर्ष A(1, 1, 2), B(2, 3, 5), C(1, 5, 5) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल?
चरण 1: AB = î + 2ĵ + 3k̂, AC = 4ĵ + 3k̂। चरण 2: AB × AC = −6î − 3ĵ + 4k̂। चरण 3: |AB × AC| = √61। क्षेत्रफल = ½√61 ≈ 3.9 वर्ग इकाई।
8. |a| = 3, |b| = 4, a·b = 6 हो तो |a × b| और |a + b|?
चरण 1: cosθ = 6/12 = 1/2, θ = 60°। चरण 2: |a × b| = 12 × √3/2 = 6√3। चरण 3: |a + b|² = 9 + 16 + 12 = 37, |a + b| = √37।
आम गलतियाँ
- a × b = b × a लिखना। क्रम बदलने पर चिह्न बदलता है: b × a = −(a × b)।
- |a| में वर्गमूल भूल जाना, या वर्गों की जगह घटक सीधे जोड़ देना।
- विभाजन सूत्र में m को a के साथ लगाना। m दूर वाले सिरे b के साथ: (mb + na)/(m + n)।
- क्रॉस गुणनफल के सारणिक में ĵ वाला पद + लेना। ĵ के आगे हमेशा ऋण चिह्न आता है।