South 고등학교 3학년 Mathematics for Artificial Intelligence
अध्याय: 4
1. AI and mathematics
Maths behind AI history · How AI uses maths
- कृत्रिम बुद्धिमत्ता (AI): मशीनें सोचना कैसे सीखती हैं – कृत्रिम बुद्धिमत्ता (Artificial Intelligence, AI) कंप्यूटर प्रणाली की वह क्षमता है जिससे वह ऐसे काम करती है जिनमें आम तौर पर इंसानी दिमाग़ लगता है: देखना, बोली समझना, फ़ैसला करना और सीखना। AI प्रणाली एक एजेंट है जो महसूस करती है, सोचती है और काम करती है। पुरानी AI इंसानों के लिखे नियमों पर चलती थी। आज की AI ज़्यादातर मशीन लर्निंग से चलती है: वह ढेर सारे लेबल वाले उदाहरणों (डेटा) से ख़ुद नियम ढूँढती है। न्यूरल नेटवर्क सरल इकाइयों की परतें हैं जिनकी कड़ियों की ताकत (भार) प्रशिक्षण में बदलती है। AI नक्शों, अनुवाद, स्वास्थ्य, खेती और खेलों में काम आती है। एकतरफ़ा डेटा से यह ग़लत या पक्षपाती हो सकती है, इसलिए इंसान को इसे जाँचना, निजता बचाना और ज़िम्मेदार रहना चाहिए।
2. Representing data
Text as numbers · Processing text data · Images as numbers · Processing image data
- सदिश बीजगणित – सदिश (vector) में माप (परिमाण) और दिशा दोनों होते हैं। 3D में a = xî + yĵ + zk̂ लिखते हैं। लंबाई |a| = √(x² + y² + z²)। दिक्-कोसाइन l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a| और l² + m² + n² = 1। सदिश सिर-से-पूँछ (त्रिभुज नियम) या घटक-दर-घटक जुड़ते हैं। ka लंबाई को k गुना करता है, k ऋण हो तो दिशा उल्टी। AB को m : n में बाँटने वाले बिंदु का स्थिति सदिश अंतः (mb + na)/(m + n) और बाह्य (mb − na)/(m − n)। अदिश गुणनफल a·b = |a||b|cosθ एक संख्या है। सदिश गुणनफल a×b दोनों पर लंब नया सदिश है; इसकी लंबाई समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।
- आव्यूह (Matrices): कोटि, प्रकार, परिवर्त, संक्रियाएँ और व्युत्क्रम – आव्यूह संख्याओं का एक डिब्बा है जिसमें संख्याएँ पंक्तियों और स्तंभों में रखी होती हैं। इसकी कोटि = पंक्तियाँ × स्तंभ। शून्य, तत्समक, विकर्ण, अदिश, पंक्ति, स्तंभ और वर्ग आव्यूह इसके खास प्रकार हैं। परिवर्त में पंक्तियाँ स्तंभ बन जाती हैं। Aᵀ = A हो तो सममित, Aᵀ = −A हो तो विषम-सममित। योग जगह-जगह करते हैं, गुणन पंक्ति × स्तंभ से। आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं है (AB प्रायः BA नहीं)। यदि AB = BA = I हो तो B, A का व्युत्क्रम है और वह एक ही (अद्वितीय) होता है।
3. Classification and prediction
Classifying text · Classifying images · Predicting with probability · Trend lines
- मशीन लर्निंग (Machine Learning) – मशीन लर्निंग (ML) में कंप्यूटर को नियम बताया नहीं जाता; वह उदाहरणों से नियम ख़ुद सीखता है. हम डेटा देते हैं: फ़ीचर (इनपुट) और, सुपरवाइज़्ड लर्निंग में, लेबल (उत्तर). मशीन एक मॉडल बनाती है: रिग्रेशन संख्या का अनुमान लगाता है, डिसीज़न ट्री हाँ/नहीं प्रश्नों से वर्ग चुनता है, और k-means बिना लेबल वाले डेटा को समूहों में बाँटता है. ज़्यादातर डेटा पर सिखाते हैं, अनदेखे डेटा पर परखते हैं और सटीकता नापते हैं. सिर्फ़ रटने वाला मॉडल (ओवरफ़िटिंग) नए डेटा पर फेल होता है.
- सप्रतिबंध प्रायिकता, गुणन नियम और स्वतंत्र घटनाएँ – सप्रतिबंध प्रायिकता का मतलब है: जब हमें पहले से पता हो कि घटना B हो चुकी है, तब A का मौका। B के बाहर के सारे परिणाम हटाओ और फिर से गिनो: P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)। इसी से गुणन नियम मिलता है: P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B)। अगर B जानकर A का मौका न बदले, तो घटनाएँ स्वतंत्र हैं और P(A ∩ B) = P(A)·P(B)।
- रैखिक समाश्रयण और न्यूनतम वर्ग रेखा – रैखिक समाश्रयण जोड़े वाले आँकड़ों (x, y) के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा ŷ = a + bx ढूँढता है। किसी असली बिंदु और रेखा के बीच का अंतर अवशिष्ट (residual) है: e = y − ŷ। न्यूनतम वर्ग रेखा वह है जिसमें अवशिष्टों के वर्गों का योग सबसे कम हो। ढाल b = Sxy ÷ Sxx और रेखा हमेशा माध्य बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती है। इससे x से y का अनुमान लगाते हैं, पर सिर्फ़ आँकड़ों की सीमा के अंदर। मज़बूत संबंध का मतलब यह नहीं कि x ही y का कारण है।
4. Optimisation
Loss functions · Finding minima · Rational decisions
- रैखिक समाश्रयण और न्यूनतम वर्ग रेखा – रैखिक समाश्रयण जोड़े वाले आँकड़ों (x, y) के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा ŷ = a + bx ढूँढता है। किसी असली बिंदु और रेखा के बीच का अंतर अवशिष्ट (residual) है: e = y − ŷ। न्यूनतम वर्ग रेखा वह है जिसमें अवशिष्टों के वर्गों का योग सबसे कम हो। ढाल b = Sxy ÷ Sxx और रेखा हमेशा माध्य बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती है। इससे x से y का अनुमान लगाते हैं, पर सिर्फ़ आँकड़ों की सीमा के अंदर। मज़बूत संबंध का मतलब यह नहीं कि x ही y का कारण है।
- ग्रेडिएंट डिसेंट: सबसे नीचे का बिंदु ढूँढना – ग्रेडिएंट डिसेंट (gradient descent) छोटे-छोटे कदम नीचे की ओर चलकर किसी फलन का न्यूनतम मान ढूँढता है। हर कदम पर: नया x = पुराना x − सीखने की दर × ढलान। दर बहुत बड़ी हो तो गेंद आगे निकल जाती है, बहुत छोटी हो तो बहुत धीरे चलती है। मशीन लर्निंग इसी से अपनी गलती घटाती है।
- निर्णय लेना: सही चुनाव कैसे करें, कदम-दर-कदम – निर्णय लेना यानी दो या ज़्यादा विकल्पों में से सबसे अच्छा चुनना। अच्छा निर्णय कुछ चरणों में होता है: समस्या पहचानो, विकल्प खोजो, मानदंड तय करो, हर मानदंड को महत्व (weight) दो, अंक दो, चुनो, काम करो और फिर नतीजे की समीक्षा करो। डिसीजन मैट्रिक्स इसे आसान गिनती में बदल देता है।