समाश्रयण मॉडल क्या है?
कई बार हमारे पास जोड़े वाले आँकड़े होते हैं: हर व्यक्ति के लिए दो संख्याएँ, जैसे (पढ़ाई के घंटे, अंक)। इन्हें प्रकीर्ण आरेख (scatter diagram) पर बिंदुओं से दिखाते हैं।
अगर बिंदु लगभग एक सीधी रेखा में हों, तो हम रैखिक समाश्रयण मॉडल लिखते हैं:
ŷ = a + bx
- x स्वतंत्र चर है: जो हमें पता है।
- ŷ ("y-हैट") y का अनुमानित मान है।
- b ढाल (slope) है: x एक बढ़ने पर ŷ कितना बदलता है।
- a अंतःखंड (intercept) है: x = 0 पर ŷ का मान।
असली बिंदु रेखा पर ठीक नहीं बैठते। पूरा मॉडल है y = a + bx + e, जहाँ e एक यादृच्छिक त्रुटि है।
अवशिष्ट: हर बिंदु रेखा से कितना दूर है
अवशिष्ट (residual) असली बिंदु और रेखा के बीच की खड़ी दूरी है:
e = y − ŷ
धनात्मक अवशिष्ट: बिंदु रेखा के ऊपर। ऋणात्मक: रेखा के नीचे। न्यूनतम वर्ग रेखा के लिए सभी अवशिष्टों का योग हमेशा 0 होता है।
अवशिष्ट आलेख (x बनाम e) से मॉडल जाँचते हैं। अगर अवशिष्ट 0 के आसपास बिखरे हों, तो सीधी रेखा ठीक है। अगर वे कोई वक्र या कीप जैसा आकार बनाएँ, तो सीधी रेखा अच्छा मॉडल नहीं है।
न्यूनतम वर्ग विधि
कुछ अवशिष्ट धनात्मक और कुछ ऋणात्मक होते हैं, इसलिए सीधे जोड़ नहीं सकते। पहले वर्ग करते हैं। न्यूनतम वर्ग रेखा वह है जिसमें Σe² सबसे कम हो।
सूत्र (n जोड़े):
- x̄ = Σx ÷ n, ȳ = Σy ÷ n
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − n·x̄²
- Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = Σxy − n·x̄·ȳ
- b = Sxy ÷ Sxx
- a = ȳ − b·x̄
क्योंकि a = ȳ − b·x̄, रेखा हमेशा माध्य बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती है। ढाल b का चिह्न सहसंबंध गुणांक r जैसा ही होता है: b = r × (sy ÷ sx)।
y की x पर रेखा और x की y पर रेखा
ऊपर वाली रेखा x से y का अनुमान लगाती है। y से x के लिए अलग रेखा चाहिए: x = c + dy, जहाँ d = Sxy ÷ Syy। दोनों रेखाएँ (x̄, ȳ) पर काटती हैं और सिर्फ़ r = ±1 पर एक हो जाती हैं।
रेखा से अनुमान, और उसकी सीमाएँ
x का मान ŷ = a + bx में रखो, अनुमान मिल जाएगा।
- अंतर्वेशन (interpolation): x आँकड़ों की सीमा के अंदर है। r अगर ±1 के पास हो तो भरोसेमंद।
- बहिर्वेशन (extrapolation): x सीमा के बाहर है। जोखिम भरा, क्योंकि पैटर्न बदल सकता है। (30 घंटे पढ़ने से 200 अंक नहीं मिलेंगे!)
सहसंबंध का मतलब कारण नहीं
मज़बूत संबंध यह साबित नहीं करता कि x ही y का कारण है। गर्मी में आइसक्रीम की बिक्री और डूबने की घटनाएँ दोनों बढ़ती हैं, क्योंकि गर्मी दोनों को बढ़ाती है। ऐसे छिपे कारण को छिपा चर (lurking variable) कहते हैं। कारण-प्रभाव सिर्फ़ निष्पक्ष प्रयोग से पता चलता है।
निर्धारण गुणांक r² बताता है कि y के बदलाव का कितना भाग रेखा समझाती है। r = 0.9 हो तो r² = 0.81, यानी 81%।
करके देखो: अपनी समाश्रयण रेखा
6 दोस्तों या घरवालों की लंबाई (cm) और दोनों हाथ फैलाकर चौड़ाई (cm) नापो। बिंदु बनाओ। x̄, ȳ, Sxx, Sxy और फिर रेखा निकालो। क्या ढाल 1 के पास है? 3D में a और b बदलकर नारंगी वर्ग जितने छोटे हो सकें करो, फिर "सबसे अच्छी रेखा" दबाकर देखो कि आप कितने पास थे।
परीक्षा में क्या पूछा जाता है
आम प्रश्न: तालिका से समाश्रयण रेखा निकालो (4–6 अंक); a और b का अर्थ शब्दों में बताओ; अनुमान लगाओ और बताओ कि वह भरोसेमंद है या नहीं; अवशिष्ट निकालो; y की x पर या x की y पर रेखा चुनो; बताओ कि सहसंबंध कारण क्यों नहीं है। हमेशा इकाई लिखो और समीकरण में ŷ लिखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ŷ = a + bx
- Residual e = y − ŷ
- b = Sxy ÷ Sxx
- a = ȳ − b·x̄
- Sxx = Σx² − n·x̄²
- Sxy = Σxy − n·x̄·ȳ
- b = r · (sy ÷ sx)
- r² = रेखा द्वारा समझाया गया y के बदलाव का भाग
हल किए गए उदाहरण
1. रेखा ŷ = 29.4 + 5.9x है (x = पढ़ाई के घंटे, y = अंक)। 5 घंटे पर अंक का अनुमान लगाओ।
ŷ = 29.4 + 5.9 × 5 = 29.4 + 29.5 = 58.9 ≈ 59 अंक।
2. इसी रेखा में, 4 घंटे पढ़ने वाले को 50 अंक मिले। अवशिष्ट निकालो।
ŷ = 29.4 + 5.9 × 4 = 53.0। e = y − ŷ = 50 − 53.0 = −3.0। बिंदु रेखा से 3 अंक नीचे है।
3. ढाल 5.9 और अंतःखंड 29.4 का क्या अर्थ है?
ढाल: हर एक घंटा ज़्यादा पढ़ने पर औसतन लगभग 5.9 अंक ज़्यादा। अंतःखंड: 0 घंटे पढ़ने वाले के लगभग 29 अंक का अनुमान (मोटा अंदाज़ा, क्योंकि x = 0 शायद आँकड़ों से बाहर है)।
4. x = 1, 2, 3, 4, 5 और y = 3, 5, 6, 8, 8। y की x पर न्यूनतम वर्ग रेखा निकालो।
n = 5, x̄ = 3, ȳ = 6। Σx² = 55, Sxx = 55 − 5 × 9 = 10। Σxy = 103, Sxy = 103 − 5 × 3 × 6 = 13। b = 13 ÷ 10 = 1.3। a = 6 − 1.3 × 3 = 2.1। रेखा: ŷ = 2.1 + 1.3x।
5. ŷ = 2.1 + 1.3x से सभी अवशिष्ट निकालो और उनका योग जाँचो।
ŷ = 3.4, 4.7, 6.0, 7.3, 8.6। अवशिष्ट: −0.4, 0.3, 0, 0.7, −0.6। योग = 0। वर्गों का योग = 0.16 + 0.09 + 0 + 0.49 + 0.36 = 1.1।
6. r = 0.8, x का मानक विचलन 2, y का 5, x̄ = 10, ȳ = 40। y की x पर रेखा निकालो और x = 12 पर अनुमान लगाओ।
b = 0.8 × 5 ÷ 2 = 2। a = 40 − 2 × 10 = 20। ŷ = 20 + 2x। x = 12 पर ŷ = 44।
7. रेखा ŷ = 12 + 0.5x उन आँकड़ों से बनी जहाँ x 20 से 60 तक था। क्या x = 150 पर अनुमान भरोसेमंद है?
नहीं। 150 सीमा 20–60 से बहुत बाहर है, यह बहिर्वेशन है। पैटर्न शायद आगे न चले, इसलिए ŷ = 87 पर भरोसा नहीं करना चाहिए।
आम गलतियाँ
- अवशिष्टों को सीधे जोड़कर रेखा जाँचना। सबसे अच्छी रेखा के लिए योग हमेशा 0 है; वर्ग करना ज़रूरी है।
- दोनों रेखाएँ मिला देना: y का अनुमान y की x पर रेखा से, x का अनुमान x की y पर रेखा से।
- आँकड़ों की सीमा से बहुत बाहर अनुमान लगाकर उस पर भरोसा करना।
- सिर्फ़ मज़बूत सहसंबंध देखकर कहना कि "x ही y का कारण है"।