सर्वोत्तम फिट रेखा क्या है?
प्रकीर्ण आलेख (scatter plot) संख्याओं के जोड़ों को बिंदुओं से दिखाता है। जब बिंदु मोटे तौर पर एक सीधी पट्टी में ऊपर (या नीचे) जाते हैं, तो इसे रैखिक संबंध (linear association) कहते हैं।
सर्वोत्तम फिट रेखा (ट्रेंड लाइन) एक सीधी रेखा है जो यह रुझान दिखाती है। इसे किसी बिंदु से गुज़रना ज़रूरी नहीं। यह बस बिंदुओं के बादल के बीच से जाती है।
- धनात्मक रुझान: रेखा दाईं ओर ऊपर जाती है।
- ऋणात्मक रुझान: रेखा दाईं ओर नीचे जाती है।
- कोई रुझान नहीं: बिंदु बिखरे हैं, कोई काम की रेखा नहीं।
आँख से सर्वोत्तम फिट रेखा कैसे खींचें
- बिंदुओं का आकार देखो। क्या यह सीधी पट्टी है?
- पारदर्शी स्केल पट्टी पर रखो।
- घुमाओ और खिसकाओ जब तक लगभग आधे बिंदु ऊपर और आधे नीचे न हों।
- दूरियाँ जाँचो: छोटी हों, और सारी बड़ी दूरियाँ एक ही तरफ़ न हों।
- दूर पड़े बाहरी बिंदु (outlier) को रेखा तय करते समय ज़्यादा महत्व मत दो।
बिंदु से रेखा तक सीधी ऊपर-नीचे की दूरी बताती है कि रेखा कितनी अच्छी बैठी है। छोटी दूरी = अच्छा फिट।
समीकरण: ढाल और अंतःखंड का अर्थ
अपनी रेखा पर दो बिंदु चुनो (आँकड़ों वाले बिंदु नहीं), जैसे (2, 52) और (7, 82)।
ढाल m = ऊँचाई में बदलाव ÷ आड़ा बदलाव = (82 − 52) ÷ (7 − 2) = 30 ÷ 5 = 6।
अंतःखंड c: एक बिंदु y = mx + c में रखो → 52 = 6 × 2 + c → c = 40।
इसलिए अंक ≈ 6 × घंटे + 40।
- ढाल 6: हर अतिरिक्त घंटे पर लगभग 6 अंक ज़्यादा।
- अंतःखंड 40: 0 घंटे पढ़ने वाले के लगभग 40 अंक का अनुमान।
अर्थ हमेशा इकाई के साथ बोलो: "अंक प्रति घंटा", "रुपये प्रति किलो", "सेमी प्रति वर्ष"।
अनुमान लगाना (और उसकी सीमाएँ)
अनुमान के लिए x का मान समीकरण में रखो, या x से ऊपर रेखा तक जाकर बगल में पढ़ो।
- आँकड़ों की सीमा के अंदर (अंतर्वेशन, interpolation): काफ़ी भरोसेमंद।
- सीमा से बहुत बाहर (बहिर्वेशन, extrapolation): जोखिम भरा। 30 घंटे पढ़ने से 220 अंक नहीं मिलते!
ट्रेंड लाइन बताती है कि चीज़ें साथ बदलती हैं। यह साबित नहीं करती कि एक दूसरे का कारण है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = mx + c (सर्वोत्तम फिट रेखा)
- ढाल m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), रेखा पर के दो बिंदुओं से
- अंतःखंड c = y − m x (x = 0 पर y का मान)
- अनुमान: ŷ = m × (दिया x) + c
हल किए गए उदाहरण
1. बच्चों की उम्र (वर्ष) और लंबाई (सेमी) का प्रकीर्ण आलेख दाईं ओर ऊपर जाता है। संबंध कैसा है?
धनात्मक रैखिक संबंध: उम्र बढ़ने पर लंबाई भी बढ़ती है।
2. एक ट्रेंड लाइन (0, 20) और (5, 45) से गुज़रती है। समीकरण निकालो।
m = (45 − 20) ÷ (5 − 0) = 25 ÷ 5 = 5। c = 20 (x = 0 पर)। समीकरण: y = 5x + 20।
3. अंक = 6h + 40 से 3.5 घंटे के अंक का अनुमान लगाओ।
अंक = 6 × 3.5 + 40 = 21 + 40 = 61।
4. फ़ोन बैटरी की रेखा: चार्ज % = −8t + 100 (t घंटे)। ढाल और अंतःखंड समझाओ।
ढाल −8: हर घंटे लगभग 8 % बैटरी घटती है। अंतःखंड 100: t = 0 पर फ़ोन पूरा चार्ज (100 %) है।
5. रेखा A के ऊपर 9 बिंदु और नीचे 1 है। रेखा B के ऊपर 5, नीचे 5 और दूरियाँ छोटी हैं। कौन बेहतर है?
रेखा B। अच्छी रेखा बिंदुओं को लगभग बराबर बाँटती है; रेखा A बहुत नीचे है।
6. टैक्सी किराया = 15d + 50 (रुपये, d किमी में)। ₹230 में कितनी दूर जा सकते हो?
230 = 15d + 50 → 15d = 180 → d = 12 किमी।
आम गलतियाँ
- सब बिंदुओं के बीच से जाने की बजाय पहले और आख़िरी बिंदु को जोड़ देना।
- रेखा को ज़बरदस्ती मूल बिंदु (0, 0) से गुज़ारना, जबकि आँकड़े वहाँ से शुरू नहीं होते।
- ढाल निकालने के लिए रेखा से हटे आँकड़ा-बिंदु लेना; रेखा पर के दो बिंदु लो।
- आँकड़ों से बहुत दूर अनुमान लगाना, या कहना कि रेखा कारण साबित करती है।