रैखिक समीकरण युग्म क्या है?
दो चरों वाला रैखिक समीकरण ऐसा दिखता है: ax + by = c। x और y अनजान संख्याएँ (चर) हैं। a, b, c तय संख्याएँ हैं, और a, b दोनों शून्य नहीं होते।
"रैखिक" का मतलब है इसका ग्राफ सीधी रेखा है। एक समीकरण के अनगिनत हल होते हैं। एक ही x, y वाले दो समीकरण मिलकर युग्म (जोड़ी) बनाते हैं। हमें वह (x, y) चाहिए जो दोनों को एक साथ सही करे।
एक रैखिक समीकरण का ग्राफ
एक नियम लो, जैसे 2x + y = 6। इसके बहुत सारे हल हैं। हर हल एक जोड़ा (x, y) है।
- आसान x चुनो, जैसे 0। तब y = 6। बिंदु (0, 6)।
- x = 3 लो। तब y = 0। बिंदु (3, 0)।
- जाँचने के लिए एक और: x = 1, तब y = 4। बिंदु (1, 4)।
- बिंदु ग्राफ पर लगाओ और पैमाने से जोड़ो।
सारे बिंदु एक सीधी रेखा पर आते हैं। रेखा का हर बिंदु हल है। रेखा से बाहर का बिंदु हल नहीं है। 3D का पहला चरण देखो: x + y = 5 के बिंदु एक लाइन में हैं।
खास रेखाएँ: x = 2 खड़ी रेखा है। y = 3 पड़ी (सपाट) रेखा है। y = 2x मूल बिंदु (0, 0) से जाती है।
ढाल-अंतःखंड रूप: y = mx + c
किसी भी रेखा (b ≠ 0) को ऐसे लिख सकते हैं कि y अकेला रहे: y = mx + c।
- m = ढाल (slope), यानी रेखा कितनी तिरछी है। x एक बढ़े तो y, m बढ़ता है।
- c = y-अंतःखंड, यानी रेखा y-अक्ष को (0, c) पर काटती है।
उदाहरण: 2x + y = 6 से y = −2x + 6। ढाल −2: दाईं ओर 1 कदम पर रेखा 2 नीचे जाती है। y-अक्ष को 6 पर काटती है।
फ़ायदा: ढाल एक जैसा और c अलग हो तो रेखाएँ समांतर (कोई हल नहीं)। ढाल और c दोनों एक जैसे तो एक ही रेखा। ढाल अलग तो रेखाएँ एक बार कटती हैं। आखिरी चरण में हरी रेखा बदलकर उसका ढाल और अंतःखंड देखो।
ग्राफीय विधि
चरण 1. हर समीकरण के लिए छोटी तालिका बनाओ: x के 2-3 मान लो और y निकालो।
चरण 2. बिंदु ग्राफ पर लगाओ और पैमाने से जोड़ो। दो रेखाएँ बनेंगी।
चरण 3. देखो रेखाएँ कहाँ मिलती हैं। वह बिंदु (x, y) ही हल है।
उदाहरण: x + y = 5 से (0,5), (5,0); x − y = 1 से (1,0), (3,2)। रेखाएँ (3, 2) पर मिलती हैं। ऊपर 3D में चरण 1 से 3 देखो।
तीन तस्वीरें: संगत और असंगत
- रेखाएँ प्रतिच्छेदी (काटती) हैं → ठीक एक हल। युग्म संगत है।
- रेखाएँ समांतर हैं → कोई हल नहीं। युग्म असंगत है।
- रेखाएँ संपाती हैं (एक-दूसरे पर पड़ी) → अनंत हल। युग्म संगत और आश्रित है।
बिना ग्राफ के अनुपात जाँच
a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लिए अनुपात मिलाओ:
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → रेखाएँ काटती हैं → एक हल।
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → समांतर → कोई हल नहीं।
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → एक ही रेखा → अनंत हल।
क्यों? a और b का अनुपात बराबर हो तो दोनों रेखाओं का झुकाव (ढाल) एक जैसा होता है। फिर c बताता है कि वे एक ही रेखा हैं या बस बगल-बगल।
प्रतिस्थापन विधि
"प्रतिस्थापन" यानी "की जगह रखना"।
- एक समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में लिखो। जैसे x − y = 1 से x = y + 1।
- इसे दूसरे समीकरण में रखो: (y + 1) + y = 5, तो 2y = 4, y = 2।
- वापस रखो: x = 2 + 1 = 3।
- दोनों में जाँचो: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓।
अगर चर गायब होकर हमेशा सही बात (0 = 0) बचे तो अनंत हल; गलत बात (0 = 3) बचे तो कोई हल नहीं।
विलोपन विधि
"विलोपन" यानी "हटाना"।
- एक या दोनों समीकरणों को ऐसी संख्या से गुणा करो कि किसी एक चर का गुणांक (आगे की संख्या) बराबर हो जाए।
- समीकरण जोड़ो या घटाओ। वह चर हट जाएगा।
- बचा हुआ आसान समीकरण हल करो।
- मान वापस रखकर दूसरा चर निकालो और जाँचो।
उदाहरण: x + y = 5 और x − y = 1। जोड़ो: 2x = 6, x = 3; फिर y = 2। 3D के आखिरी चरण में बटन यही एक-एक लाइन दिखाता है।
शाब्दिक प्रश्न
कहानी को गणित में बदलने के चार कदम:
- नाम दो: "माना पेन का दाम ₹x और कॉपी का ₹y है।"
- लिखो: कहानी की हर बात से एक समीकरण।
- हल करो: प्रतिस्थापन या विलोपन से।
- जाँचो: उत्तर समझ में आता है (दाम धनात्मक, आयु पूर्ण संख्या) और शब्दों में उत्तर लिखो।
आम प्रकार: दाम, आयु, दो अंकों की संख्या, भिन्न, नाव और धारा की चाल, फिक्स चार्ज + दर, आकृति के कोण या भुजाएँ।
करके देखो: घर का खेल
घर में किसी से चुपके से दो संख्याएँ सोचने को कहो। सिर्फ उनका योग और अंतर पूछो। लिखो x + y = योग और x − y = अंतर। दोनों जोड़ो: 2x = योग + अंतर। x निकालो, फिर y। उन्हें चौंका दो! फिर 3D में हरी रेखा x − y = आपका अंतर बनाकर मिलन बिंदु देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- एक समीकरण ax + by = c का ग्राफ सीधी रेखा है; उसका हर बिंदु हल है
- ढाल-अंतःखंड रूप: y = mx + c (m = ढाल, c = y-अंतःखंड)
- ax + by = c से ढाल m = −a/b, अंतःखंड c/b
- सामान्य रूप: a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → एक हल (प्रतिच्छेदी, संगत)
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → कोई हल नहीं (समांतर, असंगत)
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → अनंत हल (संपाती, आश्रित)
- प्रतिस्थापन: एक चर निकालकर दूसरे समीकरण में रखो
- विलोपन: गुणांक बराबर करो, फिर जोड़ो या घटाओ
हल किए गए उदाहरण
1. 2x + y = 6 का ग्राफ बनाइए। क्या (2, 2) इसका हल है?
सारणी: x = 0 → y = 6; x = 3 → y = 0; x = 1 → y = 4। (0,6), (3,0), (1,4) लगाकर जोड़िए। (2, 2) जाँचें: 2×2 + 2 = 6 ✓, हाँ, यह रेखा पर है।
2. 3x + 2y = 8 को y = mx + c रूप में लिखिए। ढाल और y-अंतःखंड बताइए।
2y = −3x + 8, तो y = −(3/2)x + 4। ढाल m = −3/2 (दाईं ओर 2 कदम पर 3 नीचे)। y-अंतःखंड c = 4, बिंदु (0, 4)।
3. विलोपन से हल करो: x + y = 7, x − y = 3।
जोड़ो: 2x = 10, x = 5। फिर y = 7 − 5 = 2। जाँच: 5 − 2 = 3 ✓।
4. प्रतिस्थापन से हल करो: y = 2x और 3x + y = 15।
y = 2x रखो: 3x + 2x = 15, 5x = 15, x = 3। फिर y = 6। जाँच: 9 + 6 = 15 ✓।
5. बिना हल किए बताओ 2x + 3y = 6 और 4x + 6y = 15 के कितने हल हैं।
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = 6/15 = 2/5। पहले दो बराबर, तीसरा अलग → रेखाएँ समांतर, कोई हल नहीं (असंगत)।
6. k का मान बताओ ताकि kx + 2y = 5 और 3x + y = 1 का ठीक एक हल हो।
एक हल के लिए a₁/a₂ ≠ b₁/b₂: k/3 ≠ 2, तो k ≠ 6। 6 को छोड़कर कोई भी k।
7. विलोपन से हल करो: 3x + 2y = 11 और 2x + 3y = 4।
पहले को 3 से, दूसरे को 2 से गुणा: 9x + 6y = 33, 4x + 6y = 8। घटाओ: 5x = 25, x = 5। रखो: 15 + 2y = 11, y = −2। जाँच: 10 − 6 = 4 ✓।
8. 2 पेन और 3 कॉपी ₹80 की, 1 पेन और 1 कॉपी ₹30 की। दाम निकालो।
पेन = ₹x, कॉपी = ₹y। 2x + 3y = 80, x + y = 30। x = 30 − y रखो: 60 + y = 80, y = 20, x = 10। पेन ₹10, कॉपी ₹20।
9. टैक्सी का किराया = फिक्स चार्ज + प्रति किमी दर। 10 किमी का ₹105, 15 किमी का ₹155। दोनों निकालो।
फिक्स = ₹x, दर = ₹y। x + 10y = 105, x + 15y = 155। घटाओ: 5y = 50, y = 10, x = 5। फिक्स ₹5, दर ₹10 प्रति किमी।
10. एक नाव धारा के साथ 30 किमी 2 घंटे में और धारा के विरुद्ध 3 घंटे में लौटती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल?
नाव x, धारा y किमी/घंटा। x + y = 15, x − y = 10। जोड़ो: 2x = 25, x = 12.5; y = 2.5 किमी/घंटा।
आम गलतियाँ
- गुणांक बराबर करते समय दाईं ओर की संख्या को भी गुणा करना भूल जाना।
- गलत क्रिया: चिह्न एक जैसे हों तो घटाओ, उल्टे हों तो जोड़ो।
- स्थितियाँ मिलाना: a और b का अनुपात बराबर हो तो कभी एक हल नहीं होता।
- एक चर निकालकर रुक जाना या दोनों समीकरणों में जाँच न करना।