शाब्दिक प्रश्न क्या है?
शाब्दिक प्रश्न (word problem) एक छोटी कहानी होती है जिसमें संख्याएँ दी होती हैं और एक या ज़्यादा संख्याएँ छिपी होती हैं। हमें उन्हें ढूँढना है।
अंकगणित में हम संख्याएँ आज़माकर उत्तर ढूँढ सकते हैं। बीजगणित तेज़ और सुरक्षित है: हम छिपी संख्या को एक अक्षर (जैसे x) देते हैं और उससे किसी भी संख्या की तरह काम करते हैं। इस अक्षर को अज्ञात या चर (variable) कहते हैं।
ऊपर के 3D तराज़ू में मिया की पेंसिलें x ब्लॉकों का नीला ढेर हैं। बाएँ पलड़े में सारी पेंसिलें हैं, दाएँ में 13। दोनों पलड़े बराबर हों तो समीकरण सही है।
बीजगणित की विधि: चार कदम
- नाम दो। अज्ञात का मतलब साफ़ लिखो, जैसे: मान लो x = मिया की पेंसिलों की संख्या। इकाई मत भूलना।
- समीकरण। कहानी को गणित में बोलो। से ज़्यादा का मतलब +, से कम का मतलब −, गुना या दुगना का मतलब ×, है या कुल का मतलब अक्सर =।
- हल करो। दोनों तरफ़ एक जैसा काम करो जब तक x अकेला न हो जाए।
- जाँचो। उत्तर को कहानी में रखकर देखो, सिर्फ़ समीकरण में नहीं। फिर उत्तर इकाई के साथ पूरे वाक्य में लिखो।
ध्यान से लिखो: x से 5 ज़्यादा यानी x + 5, पर x से 5 कम यानी x − 5, और 5 में से x कम यानी 5 − x।
शाब्दिक प्रश्नों के आम प्रकार
संख्या और आयु के प्रश्न
दो क्रमागत संख्याएँ: x और x + 1। तीन क्रमागत सम संख्याएँ: x, x + 2, x + 4। आयु में याद रखो कि n साल बाद सब n साल बड़े हो जाते हैं।
चाल के प्रश्न
दूरी = चाल × समय। अगर दो लोग एक-दूसरे की ओर चलें तो उनकी चालें जुड़ती हैं। नदी में नाव धारा के साथ (नाव की चाल + धारा की चाल) से चलती है और धारा के विपरीत (नाव की चाल − धारा की चाल) से।
काम के प्रश्न
अगर नल टंकी को 6 घंटे में भरता है, तो 1 घंटे में टंकी का 1/6 भाग भरता है। एक घंटे का काम जोड़ो और पूरा समय निकालो।
प्रतिशत और मिश्रण
भाग = (p/100) × पूरा। मिश्रण में शुद्ध पदार्थ की मात्राएँ जोड़कर समीकरण बनाओ।
आकृति के प्रश्न
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)। कहानी अक्सर बताती है कि एक भुजा दूसरी से कैसे जुड़ी है।
दो अज्ञात और द्विघात समीकरण
कभी-कभी कहानी में दो छिपी संख्याएँ होती हैं, जैसे पेन और कॉपी का दाम। तब हम दो अक्षर लेते हैं और दो समीकरण लिखते हैं। उन्हें जोड़कर, घटाकर या प्रतिस्थापन से हल करते हैं (रैखिक समीकरण निकाय)।
कभी समीकरण में x² आता है। जैसे आयत की लंबाई (w + 3) और क्षेत्रफल 40 हो, तो w(w + 3) = 40, यानी w² + 3w − 40 = 0। हल करने पर दो मूल मिलते हैं, पर कहानी में शायद एक ही चलेगा। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए वह मूल छोड़ दो। हर मूल को कहानी में जाँचो।
करके देखो: घर पर तराज़ू
एक स्केल और पेंसिल से झूला बनाओ। दो छोटे कप और 20 एक जैसे सिक्के या दाने लो। एक कप में कुछ दाने डालकर कपड़े से ढक दो: यही x है। दोस्त से कहो कि वही कप दूसरी तरफ़ रखे और एक तरफ़ 3 दाने जोड़ दे। पहले अनुमान लगाओ: अगर दूसरी तरफ़ 13 दाने हों और झूला बराबर रहे, तो कप में कितने दाने हैं? फिर कपड़ा हटाकर जाँचो। जो समीकरण बनाया, उसे लिख लो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- कदम: नाम दो → समीकरण → हल करो → जाँचो
- क्रमागत संख्याएँ: x, x + 1, x + 2
- दूरी = चाल × समय
- आमने-सामने मिलना: (चाल A + चाल B) × समय = दूरी
- नदी: धारा के साथ = नाव + धारा, धारा के विपरीत = नाव − धारा
- काम: एक घंटे के भाग जुड़ते हैं; साथ में समय = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- आयत: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)
हल किए गए उदाहरण
1. दो क्रमागत संख्याओं का योग 41 है। संख्याएँ ढूँढो।
छोटी संख्या x लो। अगली x + 1। समीकरण: x + (x + 1) = 41, यानी 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20। संख्याएँ 20 और 21 हैं। जाँच: 20 + 21 = 41।
2. पिता की आयु पुत्र की आयु की 4 गुनी है। 5 साल बाद दोनों की आयु का योग 55 होगा। उनकी अभी की आयु ढूँढो।
पुत्र x साल, पिता 4x। 5 साल बाद: (x + 5) + (4x + 5) = 55, यानी 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9। पुत्र 9 साल, पिता 36 साल। जाँच: 5 साल बाद 14 + 41 = 55।
3. दो शहर 180 km दूर हैं। दोनों से एक साथ एक-एक कार एक-दूसरे की ओर 50 km/h और 40 km/h से चलती है। वे कब मिलेंगी?
समय t घंटे। दूरियाँ: 50t + 40t = 180, यानी 90t = 180, t = 2। वे 2 घंटे बाद मिलेंगी। जाँच: 100 km + 80 km = 180 km।
4. एक नल टंकी को 6 घंटे में भरता है, दूसरा 3 घंटे में। दोनों साथ में कितने समय में भरेंगे?
1 घंटे में भरा भाग = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2। इसलिए पूरी टंकी 2 घंटे में भरेगी।
5. 3 पेन और 2 कॉपियों का दाम Rs 70 है। 2 पेन और 3 कॉपियों का दाम Rs 80 है। एक पेन और एक कॉपी का दाम ढूँढो।
पेन p, कॉपी n। 3p + 2n = 70 और 2p + 3n = 80। पहले में से दूसरा घटाओ: p − n = −10। दोनों जोड़ो: 5p + 5n = 150, यानी p + n = 30। तब n = p + 10, तो 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20। पेन Rs 10 का और कॉपी Rs 20 की। जाँच: 30 + 40 = 70 और 20 + 60 = 80।
6. एक आयत की लंबाई चौड़ाई से 3 m ज़्यादा है। उसका क्षेत्रफल 40 m² है। भुजाएँ ढूँढो।
चौड़ाई w m, लंबाई w + 3। क्षेत्रफल: w(w + 3) = 40, यानी w² + 3w − 40 = 0। गुणनखंड: (w + 8)(w − 5) = 0, तो w = −8 या w = 5। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए w = 5 m और लंबाई 8 m। जाँच: 5 × 8 = 40।
7. एक नाव धारा के साथ 36 km जाती है और धारा के विपरीत 36 km लौटती है। कुल समय 9 घंटे है। धारा की चाल 3 km/h है। शांत जल में नाव की चाल ढूँढो।
नाव की चाल v km/h। समय = दूरी ÷ चाल, इसलिए 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9। (v + 3)(v − 3) से गुणा करो: 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), यानी 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0। v = 9 (चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)। जाँच: 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 घंटे।
आम गलतियाँ
- x का मतलब बताए बिना समीकरण लिखना शुरू कर देना। हमेशा लिखो: मान लो x = ... इकाई के साथ।
- 'से कम' में गड़बड़ी। x से 5 कम यानी x − 5, 5 − x नहीं।
- सिर्फ़ समीकरण में जाँचना। अगर समीकरण ही ग़लत बना है तो वह फिर भी सही निकलेगा। कहानी में जाँचो।
- ऐसा उत्तर रख लेना जो कहानी में नहीं बैठता, जैसे ऋणात्मक लंबाई या 2.5 बच्चे।