चरघातांकी समीकरण क्या है?
चरघातांकी समीकरण में अज्ञात x घातांक (power) में होता है: 5^x = 125, 3^(x+1) = 27, 2^x = 7।
मुख्य बात: b > 0 और b ≠ 1 हो तो फलन y = b^x एकैकी (one-to-one) है — हर मान सिर्फ़ एक x से आता है। इसलिए b^p = b^q हो तो p = q।
b^x हमेशा धनात्मक होता है। इसलिए 2^x = −4 या 2^x = 0 का कोई हल नहीं।
तरीका 1: आधार समान बनाओ
दोनों तरफ़ एक ही आधार की घात लिखो, फिर घातें बराबर रखो।
- 9^x = 27 → 3^(2x) = 3³ → x = 1.5
- (1/2)^x = 16 → 2^(−x) = 2⁴ → x = −4
- 5^(x−1) = 1 = 5⁰ → x = 1
याद रखो: 2, 4, 8, 16, 32, 64; 3, 9, 27, 81; 5, 25, 125।
उभयनिष्ठ गुणनखंड
2^(x+2) + 2^x = 40 → 2^x(4 + 1) = 40 → 2^x = 8 → x = 3।
तरीका 2: प्रतिस्थापन (छिपा द्विघात)
अगर b^(2x) और b^x साथ दिखें, तो t = b^x रखो। तब b^(2x) = t²।
उदाहरण: 4^x − 6·2^x + 8 = 0 → t² − 6t + 8 = 0 → t = 2 या 4 → x = 1 या 2।
हमेशा जाँचो कि t > 0 हो। t = −3 आए तो छोड़ दो, क्योंकि 2^x ऋणात्मक नहीं हो सकता।
तरीका 3: लघुगणक (log) लो
जब संख्याएँ एक आधार की घात न हों, तो दोनों तरफ़ log लो और log(b^x) = x·log b लगाओ।
3^x = 20 → x log 3 = log 20 → x ≈ 1.301 / 0.477 ≈ 2.73।
दो अलग आधार: 2^x = 5^(x−1) → x log 2 = (x − 1) log 5 → x = log 5 / log 2.5 ≈ 1.76।
प्राकृतिक log (ln) भी चलता है: e^(0.05t) = 2 → t = ln 2 / 0.05 ≈ 13.9।
चरघातांकी असमिकाएँ और निकाय
आधार समान करो, फिर घातों की तुलना करो:
- b > 1: वक्र ऊपर जाता है, चिह्न वही रहता है: 2^x > 8 → x > 3।
- 0 < b < 1: वक्र नीचे आता है, चिह्न पलटता है: (1/3)^x > 9 = (1/3)^(−2) → x < −2।
निकाय (system)
2^x · 2^y = 32 और 3^(x−y) = 3 से x + y = 5 और x − y = 1, तो x = 3, y = 2।
करके देखो: पहले अंदाज़ा, फिर जाँच
एक कागज़ को बार-बार आधा मोड़ो और परतें गिनो: 2, 4, 8… कितनी बार मोड़ने पर 64 परतें होंगी? 2^n = 64 लिखकर हल करो। फिर 3D में आधार 2 और मान 16 रखो: पहले x का अंदाज़ा लगाओ, फिर जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- b^p = b^q ⇔ p = q (b > 0, b ≠ 1)
- b^x = c ⇒ x = log c / log b (c > 0)
- b^x > b^k: b > 1 हो तो x > k, 0 < b < 1 हो तो x < k
- t = b^x ⇒ b^(2x) = t², t > 0
- log(b^x) = x·log b
हल किए गए उदाहरण
1. 3^(x+1) = 81 हल करो।
81 = 3⁴, तो x + 1 = 4, x = 3।
2. 8^x = 32 हल करो।
2^(3x) = 2⁵ → x = 5/3।
3. (1/5)^x = 125 हल करो।
5^(−x) = 5³ → x = −3।
4. 3^(x+1) + 3^x = 36 हल करो।
3^x(3 + 1) = 36 → 3^x = 9 → x = 2।
5. 9^x − 4·3^x + 3 = 0 हल करो।
t = 3^x: t² − 4t + 3 = 0 → t = 1 या 3 → x = 0 या 1।
6. 5^x = 12 (दो दशमलव तक)।
x = log 12 / log 5 = 1.0792 / 0.6990 ≈ 1.54।
7. 2^(x−3) < 1/4 हल करो।
2^(x−3) < 2^(−2); आधार 2 > 1, तो x − 3 < −2 → x < 1।
8. (0.5)^(2x) ≥ 0.125 हल करो।
0.125 = 0.5³; आधार 0.5 < 1, चिह्न पलटो: 2x ≤ 3 → x ≤ 1.5।
आम गलतियाँ
- 4^x = 2^(x+2) में बिना आधार समान किए x = x + 2 लिख देना।
- प्रतिस्थापन में t = b^x का ऋणात्मक मान रख लेना। b^x हमेशा धनात्मक है।
- आधार 0 और 1 के बीच हो तो असमिका का चिह्न न पलटना।
- log 20 / log 3 को log(20/3) लिखना। दोनों अलग हैं।