युगपत समीकरण क्या हैं?
युगपत का अर्थ है "एक साथ"। युगपत समीकरण वे समीकरण हैं जो सब एक साथ सही होने चाहिए।
उदाहरण: x + y = 7 और x − y = 1। पहले समीकरण में कई जोड़े ठीक बैठते हैं (जैसे 3 और 4, या 5 और 2)। पर दोनों में सिर्फ़ x = 4, y = 3 ठीक बैठता है। यही निकाय का हल है।
साथ में हल किए जाने वाले समीकरणों के समूह को समीकरण निकाय (system of equations) भी कहते हैं।
दो रैखिक समीकरण: प्रतिस्थापन और विलोपन
प्रतिस्थापन विधि: एक समीकरण से एक चर का मान निकालें, फिर उसे दूसरे में रखें।
x + y = 7 → y = 7 − x। इसे x − y = 1 में रखें: x − (7 − x) = 1 → 2x = 8 → x = 4, तो y = 3।
विलोपन विधि: समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ ताकि एक चर हट जाए। (x + y) + (x − y) = 7 + 1 → 2x = 8 → x = 4।
दो सीधी रेखाएँ एक बार काट सकती हैं (एक हल), समांतर हो सकती हैं (कोई हल नहीं) या एक ही रेखा हो सकती हैं (अनंत हल)।
एक रैखिक और एक द्विघात समीकरण
जब एक समीकरण सीधी रेखा हो और दूसरे में वर्ग हो (जैसे y = x² − 1 या x² + y² = 25), तो प्रतिस्थापन करें। यहाँ विलोपन आमतौर पर काम नहीं करता।
- रैखिक समीकरण से y (या x) निकालें।
- उसे द्विघात समीकरण में रखें।
- सरल करके ax² + bx + c = 0 बनाएँ और हल करें।
- हर x को रैखिक समीकरण में रखकर उसका y निकालें।
उत्तर जोड़ों में आते हैं: हर x का अपना y। इन्हें बिंदु की तरह लिखें, जैसे (−1, 0) और (2, 3)।
कितने हल? विविक्तकर से जानें
प्रतिस्थापन के बाद द्विघात ax² + bx + c = 0 मिलता है। इसका विविक्तकर (discriminant) D = b² − 4ac है।
- D > 0: रेखा वक्र को 2 बिंदुओं पर काटती है → 2 हल।
- D = 0: रेखा वक्र को बस छूती है (स्पर्श रेखा) → 1 हल।
- D < 0: रेखा वक्र से नहीं मिलती → कोई वास्तविक हल नहीं।
परीक्षा में "k का वह मान ज्ञात करें जिससे रेखा स्पर्श रेखा हो" पूछा जाता है: D = 0 रखकर k निकालें।
दो द्विघात समीकरण और सममित निकाय
कुछ निकायों में x + y और xy दिए होते हैं। उदाहरण: x + y = 5, xy = 6। तब x और y, t² − 5t + 6 = 0 के मूल हैं, यानी t = 2 या 3। हल (2, 3) और (3, 2) हैं।
x² + y² = 13 और xy = 6 जैसे निकाय में (x + y)² = x² + y² + 2xy = 25 लें, तो x + y = ±5, फिर ऊपर की तरह हल करें।
तीन चर वाले तीन रैखिक समीकरण
तीन चर हों तो तीन समीकरण चाहिए। एक चर को दो बार हटाएँ, दो चर वाले दो समीकरण बनाएँ, उन्हें हल करें, फिर वापस जाएँ।
x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2।
(1) + (3): 2x + 3y = 8। (2) + (3): 3x + y = 5। दूसरे से y = 5 − 3x। तब 2x + 15 − 9x = 8 → x = 1, y = 2, और z = 6 − 1 − 2 = 3।
तीन चर वाला हर रैखिक समीकरण 3D में एक समतल (plane) है। हल वह बिंदु है जहाँ तीनों समतल मिलते हैं। आगे यही आव्यूह (matrix) से किया जाता है।
करके देखें: मिलन का खेल
3D ग्राफ़ में m = 2 रखें और c खिसकाएँ। देखें कि दोनों लाल बिंदु पास आते हैं और c = −2 पर एक हो जाते हैं (रेखा स्पर्श रेखा बन जाती है)। पहले अनुमान लगाएँ: c के किस मान पर रेखा वक्र को छूना बंद करेगी? फिर स्लाइडर और D = b² − 4ac से जाँचें।
घर पर: ग्राफ़ पेपर पर y = x² बनाएँ। उस पर रूलर अलग-अलग जगह रखें। गिनें कि रूलर का किनारा वक्र से कितनी बार मिलता है: 2, 1 या 0।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- प्रतिस्थापन: y = mx + c को दूसरे समीकरण में रखें
- विविक्तकर: D = b² − 4ac (D > 0: 2, D = 0: 1, D < 0: कोई नहीं)
- यदि x + y = s और xy = p, तो x, y समीकरण t² − st + p = 0 के मूल हैं
- (x + y)² = x² + y² + 2xy
हल किए गए उदाहरण
1. x + y = 7 और x − y = 1 हल करें।
दोनों को जोड़ें: 2x = 8, तो x = 4। फिर y = 7 − 4 = 3। हल (4, 3)।
2. y = x + 1 और y = x² − 1 हल करें।
रखें: x² − 1 = x + 1 → x² − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 या x = −1। तब y = 3 या y = 0। हल (2, 3) और (−1, 0)।
3. x + y = 7 और xy = 12 हल करें।
y = 7 − x, तो x(7 − x) = 12 → x² − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0। x = 3, y = 4 या x = 4, y = 3।
4. x² + y² = 25 और y = x + 1 हल करें।
x² + (x + 1)² = 25 → 2x² + 2x − 24 = 0 → x² + x − 12 = 0 → (x + 4)(x − 3) = 0। x = 3, y = 4 या x = −4, y = −3।
5. k ज्ञात करें ताकि रेखा y = 2x + k वक्र y = x² को छुए।
x² = 2x + k → x² − 2x − k = 0। एक स्पर्श बिंदु के लिए D = 0: 4 + 4k = 0 → k = −1। स्पर्श बिंदु x = 1, y = 1।
6. एक आयत का परिमाप 20 m और क्षेत्रफल 24 m² है। भुजाएँ ज्ञात करें।
2(x + y) = 20 → x + y = 10, और xy = 24। y = 10 − x → x(10 − x) = 24 → x² − 10x + 24 = 0 → x = 4 या 6। भुजाएँ 4 m और 6 m।
7. x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 हल करें।
(1)+(3): 2x + 3y = 8। (2)+(3): 3x + y = 5 → y = 5 − 3x। तब 2x + 15 − 9x = 8 → x = 1, y = 2, z = 3। जाँच: 2 − 2 + 3 = 3 ✓।
आम गलतियाँ
- सिर्फ़ x निकालकर रुक जाना। हर x का अपना y चाहिए; उत्तर जोड़ों में दें।
- x को रैखिक की जगह द्विघात समीकरण में रखना। इससे ग़लत अतिरिक्त y मिल सकते हैं।
- प्रतिस्थापन में कोष्ठक भूलना: x − (7 − x) लिखें, x − 7 − x नहीं।
- D < 0 पर बस "कोई हल नहीं" लिखना; सही है "कोई वास्तविक हल नहीं" — रेखा वक्र से मिलती ही नहीं।