एक चर वाला रैखिक समीकरण क्या है?
समीकरण (equation) वह कथन है जो बताता है कि दो चीज़ें बराबर हैं। इसमें बराबर (=) का चिह्न होता है।
चर (variable) या अज्ञात राशि एक अक्षर है, जैसे x, जो किसी ऐसी संख्या की जगह है जो हमें अभी पता नहीं।
समीकरण तब रैखिक (linear) होता है जब चर की घात 1 हो। तो 2x + 3 = 11 रैखिक है, पर x² = 9 नहीं।
हल (solution) या मूल वह संख्या है जिससे दोनों पक्ष बराबर हो जाएँ। 2x + 3 = 11 का हल x = 4 है।
व्यापक रूप: ax + b = 0, जहाँ a ≠ 0। ऐसे समीकरण का ठीक एक हल होता है।
तराज़ू विधि
बराबर के चिह्न को तराज़ू का बीच समझो। नीचे का कोई भी काम दोनों पक्षों पर करो, तराज़ू सीधा रहेगा:
- एक ही संख्या जोड़ना
- एक ही संख्या घटाना
- एक ही संख्या से गुणा करना
- शून्य के अलावा एक ही संख्या से भाग देना
लक्ष्य: x को एक ओर अकेला करना।
पक्षांतरण (छोटा तरीका)
किसी पद को दूसरी ओर ले जाकर उसका चिह्न बदलना पक्षांतरण (transposition) कहलाता है। यह तराज़ू विधि का ही जल्दी लिखा रूप है।
x + 7 = 12 → x = 12 − 7 = 5 (+7 बना −7)।
3x = 18 → x = 18 ÷ 3 = 6 (× 3 बना ÷ 3)।
थोड़े कठिन समीकरण
दोनों ओर चर
सारे x वाले पद एक ओर और सारी संख्याएँ दूसरी ओर लाओ। 5x − 4 = 2x + 11 → 5x − 2x = 11 + 4 → 3x = 15 → x = 5।
कोष्ठक
पहले कोष्ठक खोलो। 3(x − 2) = 12 → 3x − 6 = 12 → 3x = 18 → x = 6। या पहले दोनों ओर 3 से भाग दो: x − 2 = 4 → x = 6।
भिन्न
हरों के ल.स.प. (LCM) से दोनों पक्षों को गुणा करो, भिन्न हट जाएँगी। x/2 + x/3 = 10 → 6 से गुणा → 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12।
रैखिक रूप में बदलने वाले समीकरण
(x + 1)/(x − 2) = 3/2। तिरछा गुणा (cross-multiply): 2(x + 1) = 3(x − 2) → 2x + 2 = 3x − 6 → x = 8। (x = 2 नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग नहीं होता।)
ख़ास स्थितियाँ
अगर x हट जाए और 4 = 4 जैसा सही कथन बचे, तो हर संख्या हल है (सर्वसमिका, identity)। अगर 4 = 7 जैसा गलत कथन बचे, तो कोई हल नहीं।
शाब्दिक प्रश्न: कहानी से समीकरण तक
- ध्यान से पढ़ो। क्या अज्ञात है? उसे x मानो (लिखो: "माना x = …")।
- बाक़ी राशियाँ x की मदद से लिखो।
- वह वाक्य ढूँढो जो कहता है कि दो चीज़ें बराबर हैं। उससे समीकरण बनाओ।
- हल करो।
- कहानी में रखकर जाँचो और उत्तर इकाई के साथ लिखो।
उदाहरण: एक आयत की लंबाई चौड़ाई से 4 m ज़्यादा है। परिमाप 32 m है। माना चौड़ाई = x। लंबाई = x + 4। 2(x + x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6। चौड़ाई 6 m, लंबाई 10 m।
आम प्रकार: आयु, क्रमागत संख्याएँ, परिमाप, पैसे और सिक्के, चाल–दूरी–समय, प्रतिशत।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0)
- ax + b = c → x = (c − b)/a
- पक्षांतरण: + ↔ −, × ↔ ÷
- भिन्न हटाओ: दोनों पक्षों को ल.स.प. से गुणा करो
- जाँच: x को दोनों पक्षों में वापस रखो
हल किए गए उदाहरण
1. x − 9 = 4 हल करो।
दोनों ओर 9 जोड़ो: x = 4 + 9 = 13। जाँच: 13 − 9 = 4 ✓।
2. 4x + 5 = 29 हल करो।
5 घटाओ: 4x = 24। 4 से भाग दो: x = 6। जाँच: 4 × 6 + 5 = 29 ✓।
3. 7x − 3 = 4x + 12 हल करो।
4x घटाओ: 3x − 3 = 12। 3 जोड़ो: 3x = 15। 3 से भाग दो: x = 5। जाँच: 32 = 32 ✓।
4. 2(3x − 1) = 5(x + 2) हल करो।
कोष्ठक खोलो: 6x − 2 = 5x + 10। 5x घटाओ: x − 2 = 10। तो x = 12। जाँच: 2 × 35 = 70 और 5 × 14 = 70 ✓।
5. x/4 − 1 = x/6 हल करो।
4 और 6 का ल.स.प. 12 है। 12 से गुणा: 3x − 12 = 2x। तो x = 12। जाँच: 3 − 1 = 2 ✓।
6. तीन क्रमागत संख्याओं का योग 72 है। संख्याएँ ज्ञात करो।
माना संख्याएँ x, x + 1, x + 2 हैं। 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23। संख्याएँ: 23, 24, 25।
7. माँ की आयु बेटे की आयु की 3 गुनी है। 12 साल बाद वह बेटे से दुगुनी होगी। अभी दोनों की आयु बताओ।
बेटा = x, माँ = 3x। 12 साल बाद: 3x + 12 = 2(x + 12) → 3x + 12 = 2x + 24 → x = 12। बेटा 12 साल, माँ 36 साल।
आम गलतियाँ
- सिर्फ़ एक पक्ष पर काम करना। बाएँ से 3 घटाया तो दाएँ से भी 3 घटाओ।
- पक्षांतरण में चिह्न बदलना भूल जाना: x + 5 = 9 से x = 9 − 5 होगा, 9 + 5 नहीं।
- कोष्ठक के सिर्फ़ पहले पद को गुणा करना: 3(x − 2) = 3x − 6 है, 3x − 2 नहीं।
- भिन्न हटाते समय पूर्ण संख्या वाले पदों को गुणा करना भूल जाना: x/2 + 1 = 4 को 2 से गुणा करने पर x + 2 = 8 मिलता है।