सर्वसमिका क्या है?
2x + 1 = 7 जैसा समीकरण सिर्फ़ x = 3 पर सही है। सर्वसमिका हर मान पर सही होती है। जैसे (x + 1)² = x² + 2x + 1. x = 5 रखो: 36 = 25 + 10 + 1 ✓
जाँचने के लिए दोनों तरफ़ कोई संख्या रखो। साबित करने के लिए खोलो (विस्तार) या चित्र बनाओ।
सर्वसमिकाएँ क्षेत्रफल के रूप में
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। तो दो कोष्ठकों का गुणनफल एक क्षेत्रफल है।
- (a + b)² = a² + 2ab + b²: भुजा a + b का वर्ग = एक a², दो ab, एक b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b²: a² से दो a×b पट्टियाँ हटाओ; कोना b² दो बार हटा, एक बार जोड़ो।
- a² − b² = (a + b)(a − b): a² के कोने से b² काटो, L-आकार का एक टुकड़ा हटाकर आयत बनाओ।
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: भुजाएँ x + a और x + b वाला आयत।
सर्वसमिकाओं और बीजीय टाइल्स से गुणनखंड
गुणनखंड करना = व्यंजक को गुणनफल के रूप में लिखना। सर्वसमिका को दाएँ से बाएँ पढ़ो।
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (पहला और आखिरी वर्ग हैं, बीच वाला 2 × x × 5)।
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12: ऐसी दो संख्याएँ जिनका योग 7, गुणनफल 12 → 3 और 4. तो (x + 3)(x + 4).
बीजीय टाइल्स: x² के लिए बड़ा वर्ग, हर x के लिए पट्टी, हर 1 के लिए छोटा वर्ग। x² कोने में, पट्टियाँ दो तरफ़, कोने में इकाइयाँ। पूरा आयत बने तो उसकी भुजाएँ ही गुणनखंड हैं।
नई सर्वसमिकाएँ खोजना
पुरानी सर्वसमिकाओं या आकृतियों से नई बनती हैं।
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca: भुजा a + b + c के वर्ग में 3 × 3 = 9 टुकड़े।
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: भुजा a + b का घन 8 गुटकों में।
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³: b की जगह −b रखो।
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- अगर a + b + c = 0 तो a³ + b³ + c³ = 3abc.
नई सर्वसमिका को हमेशा संख्याओं से जाँचो, जैसे a = 2, b = 1.
परिमेय व्यंजकों को सरल करना
परिमेय व्यंजक = एक बहुपद ÷ दूसरा बहुपद, जैसे (x² − 9)/(x + 3). सरल करने के लिए अंश और हर के गुणनखंड करो, फिर समान गुणनखंड काटो।
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, जहाँ x ≠ −3.
याद रखो: सिर्फ़ पूरे गुणनखंड काटो, अकेले पद नहीं। जो मान हर को शून्य करे, वह मान्य नहीं।
करके देखो: एक प्रयोग
कागज़ काटो: एक 7 cm का वर्ग (a²), दो 7 cm × 3 cm पट्टियाँ (ab) और एक 3 cm का वर्ग (b²)। इन्हें जोड़कर बड़ा वर्ग बनाओ। भुजा नापो: 10 cm. जाँचो 10² = 49 + 42 + 9 = 100. फिर 12 इकाई वर्ग और पट्टियाँ काटकर x² + 7x + 12 का गुणनखंड खुद करो।
बोर्ड परीक्षा कोना
आम प्रश्न: सर्वसमिका से विस्तार; 99³ या 104 × 96 सीधे गुणा किए बिना; x³ + 27 या 8a³ − 27b³ के गुणनखंड; a + b + c = 0 का प्रयोग; चित्र से सर्वसमिका साबित करना; परिमेय व्यंजक सरल करना।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
हल किए गए उदाहरण
1. (2x + 3)² का विस्तार करो।
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. 98² बिना लंबे गुणा के निकालो।
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. 104 × 96 निकालो।
(100 + 4)(100 − 4) = 10000 − 16 = 9984.
4. टाइल्स से x² + 5x + 6 का गुणनखंड करो।
1 x², 5 पट्टियाँ, 6 इकाइयाँ। आयत की भुजाएँ x + 2 और x + 3. जाँच: 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. तो (x + 2)(x + 3).
5. (a + 2b − c)² का विस्तार करो।
a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. 8x³ + 27 का गुणनखंड करो।
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. a = 5, b = −2, c = −3 के लिए a³ + b³ + c³ निकालो।
5 − 2 − 3 = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. जाँच: 125 − 8 − 27 = 90 ✓
8. (x² − 4x + 4)/(x² − 4) सरल करो।
अंश = (x − 2)², हर = (x + 2)(x − 2). (x − 2) काटो: (x − 2)/(x + 2), x ≠ 2, −2.
आम गलतियाँ
- (a + b)² = a² + b² लिखना। दो ab पट्टियाँ छूट गईं: बीच का पद 2ab ज़रूरी है।
- (a − b)² में चिह्न गलत करना: आखिरी पद + b² हमेशा धनात्मक है।
- भिन्न में पद काटना: (x + 3)/3 का मतलब x नहीं। सिर्फ़ समान गुणनखंड काटो।
- गुणांक का वर्ग भूलना: (3x)² = 9x², 3x² नहीं।