त्रिकोणमितीय सर्वसमिका क्या है?
2x = 6 जैसा समीकरण सिर्फ़ एक मान (x = 3) पर सही है। सर्वसमिका हर उस मान पर सही है जहाँ दोनों पक्ष अर्थपूर्ण हों, जैसे (x + 1)² = x² + 2x + 1। कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों वाली सर्वसमिका को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका कहते हैं।
ध्यान दो: sin²A का मतलब (sin A)² है, sin(A²) नहीं।
sin²A + cos²A = 1 की उपपत्ति
समकोण त्रिभुज ABC लो, B पर समकोण। पाइथागोरस से: AB² + BC² = AC²।
हर पद को AC² से भाग दो: (AB/AC)² + (BC/AC)² = 1।
AB/AC = cos A और BC/AC = sin A है। तो cos²A + sin²A = 1, 0° ≤ A ≤ 90° के लिए।
3D में कर्ण 1 है, इसलिए दोनों भुजाओं के वर्गों का क्षेत्रफल sin²A और cos²A है और ये कर्ण वाले इकाई वर्ग को पूरा भर देते हैं।
बाकी दो सर्वसमिकाएँ
1 + tan²A = sec²A (0° ≤ A < 90°): sin²A + cos²A = 1 को cos²A से भाग दो। sin²A/cos²A = tan²A, cos²A/cos²A = 1, 1/cos²A = sec²A।
1 + cot²A = cosec²A (0° < A ≤ 90°): इस बार sin²A से भाग दो।
काम के रूप: sin²A = 1 − cos²A, cos²A = 1 − sin²A, sec²A − tan²A = 1, cosec²A − cot²A = 1। इसे (sec A − tan A)(sec A + tan A) = 1 भी लिख सकते हैं।
एक अनुपात से सब अनुपात
एक अनुपात पता हो तो बाकी सब लिख सकते हो। जैसे cot A के रूप में: cosec A = √(1 + cot²A), sin A = 1/√(1 + cot²A), tan A = 1/cot A, cos A = cot A/√(1 + cot²A)।
सर्वसमिका सिद्ध करने का तरीका (परीक्षा वाला)
- कठिन दिखने वाले पक्ष से शुरू करो।
- अटको तो सब कुछ sin और cos में बदल दो।
- तीनों सर्वसमिकाएँ और बीजगणित लगाओ (LCM, (a − b)(a + b) = a² − b²)।
- दूसरा पक्ष मिलते ही रुक जाओ। समीकरण की तरह पद इधर-उधर मत करो।
CBSE कक्षा 10 बोर्ड में सर्वसमिका सिद्ध करना 2–3 अंक का पक्का सवाल है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- sin²A + cos²A = 1
- 1 + tan²A = sec²A (A ≠ 90°)
- 1 + cot²A = cosec²A (A ≠ 0°)
- sec²A − tan²A = 1, cosec²A − cot²A = 1
- tan A = sin A / cos A, cot A = cos A / sin A
हल किए गए उदाहरण
1. sin A = 0.6 है (A न्यून)। सर्वसमिका से cos A निकालो।
cos²A = 1 − 0.36 = 0.64। cos A = 0.8।
2. 9 sec²A − 9 tan²A का मान निकालो।
9(sec²A − tan²A) = 9 × 1 = 9।
3. (1 + tan²θ)(1 − sin θ)(1 + sin θ) को सरल करो।
1 + tan²θ = sec²θ और (1 − sin θ)(1 + sin θ) = 1 − sin²θ = cos²θ। तो sec²θ × cos²θ = 1।
4. सिद्ध करो: (1 − cos²A) cosec²A = 1।
1 − cos²A = sin²A। sin²A × 1/sin²A = 1।
5. सिद्ध करो: cos A/(1 + sin A) + (1 + sin A)/cos A = 2 sec A।
LCM लेने पर: [cos²A + 1 + 2 sin A + sin²A] / [cos A(1 + sin A)] = [2 + 2 sin A] / [cos A(1 + sin A)] = 2/cos A = 2 sec A।
6. सिद्ध करो: (sec A − tan A)² = (1 − sin A)/(1 + sin A)।
बायाँ पक्ष = (1 − sin A)²/cos²A = (1 − sin A)²/[(1 − sin A)(1 + sin A)] = (1 − sin A)/(1 + sin A)।
7. sec A + tan A = 3 है। sec A − tan A और फिर sec A निकालो।
(sec A + tan A)(sec A − tan A) = 1, तो sec A − tan A = 1/3। जोड़ने पर 2 sec A = 10/3, sec A = 5/3।
आम गलतियाँ
- sin²A को sin(A²) पढ़ना। इसका मतलब (sin A) × (sin A) है।
- sin A + cos A = 1 लिखना। सर्वसमिका वर्गों की है, अनुपातों की नहीं।
- tan को cosec के साथ जोड़ना। सही जोड़े: tan–sec और cot–cosec।
- सिद्ध करते समय समीकरण की तरह दोनों तरफ़ पद ले जाना। एक पक्ष पर काम करके दूसरा बनाओ।