त्रिकोणमितीय फलन: रेडियन, इकाई वृत्त, ग्राफ़ और सर्वसमिकाएँ

डिग्री और रेडियन

जब चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर हो, तो केंद्र पर बना कोण 1 रेडियन है (3D का पहला चरण)। पूरे वृत्त का चाप 2πr है, इसलिए पूरा घूमना 2π रेडियन।

• π rad = 180°, 1 rad = 180°/π ≈ 57°16′।
• डिग्री → रेडियन: π/180 से गुणा। रेडियन → डिग्री: 180/π से गुणा।
• चाप की लंबाई l = rθ (θ रेडियन में)।
• 1° = 60′ (मिनट), 1′ = 60″ (सेकंड)।

इकाई वृत्त से परिभाषा और sin²x + cos²x = 1

मूलबिंदु पर केंद्र वाला त्रिज्या 1 का वृत्त लो। त्रिज्या को धन x-अक्ष से कोण x घुमाओ। वह P(a, b) पर पहुँचती है। हम cos x = a और sin x = b परिभाषित करते हैं।

यह हर वास्तविक x के लिए चलता है, 360° से बड़े या ऋण कोण के लिए भी। tan x = sin x/cos x, cot x = cos x/sin x, sec x = 1/cos x, cosec x = 1/sin x।

P केंद्र से 1 दूरी पर है, इसलिए पाइथागोरस से a² + b² = 1, यानी sin²x + cos²x = 1। cos²x से भाग दो: 1 + tan²x = sec²x। sin²x से भाग दो: 1 + cot²x = cosec²x।

चिह्न, प्रांत, परिसर और ग्राफ़

चिह्न (चरण 3): I में सब +, II में sin, cosec +, III में tan, cot +, IV में cos, sec +।

• sin x, cos x: प्रांत R, परिसर [−1, 1], आवर्त 2π।
• tan x: प्रांत R − {(2n + 1)π/2}, परिसर R, आवर्त π।
• cot x: प्रांत R − {nπ}, परिसर R।
• sec x, cosec x: परिसर (−∞, −1] ∪ [1, ∞)।
• sin x = 0 जब x = nπ; cos x = 0 जब x = (2n + 1)π/2।
• sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x।

चरण 4 में वृत्त से y = sin x बनता है: 0 से शुरू, π/2 पर 1, π पर 0, 3π/2 पर −1। cos x वही लहर है, π/2 बाईं ओर खिसकी हुई।

योग और अंतर के सूत्र

• cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
• cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
• sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
• tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)
• tan(A − B) = (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B)
• cot(A + B) = (cot A cot B − 1)/(cot B + cot A)

ख़ास स्थितियाँ: cos(π/2 − x) = sin x, sin(π/2 − x) = cos x, sin(π − x) = sin x, cos(π − x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x।

उपपत्ति का विचार: इकाई वृत्त पर P को कोण A + B पर, Q को 0 पर, R को A पर और S को −B पर रखो। जीवा PQ और RS केंद्र पर एक ही कोण A + B बनाती हैं, इसलिए बराबर हैं। दोनों को दूरी सूत्र से लिखो, sin² + cos² = 1 से सरल करो, तो cos(A + B) मिल जाता है। B की जगह −B रखकर बाक़ी सूत्र मिलते हैं।

द्विगुण, त्रिगुण कोण और योग-गुणनफल सूत्र

द्विगुण कोण (B = A रखो)

• sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tan x/(1 + tan²x)
• cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x
• tan 2x = 2 tan x/(1 − tan²x)

त्रिगुण कोण

• sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x
• cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
• tan 3x = (3 tan x − tan³x)/(1 − 3 tan²x)

योग से गुणनफल

• cos x + cos y = 2 cos((x + y)/2) cos((x − y)/2)
• cos x − cos y = −2 sin((x + y)/2) sin((x − y)/2)
• sin x + sin y = 2 sin((x + y)/2) cos((x − y)/2)
• sin x − sin y = 2 cos((x + y)/2) sin((x − y)/2)

करके देखो

घर पर: एक गोल थाली लो। धागे से उसकी त्रिज्या नापो, फिर उतना ही धागा किनारे पर रखो। केंद्र पर बना कोण 1 रेडियन है। किनारे पर ऐसे कितने धागे आते हैं? (6 से थोड़े ज़्यादा, क्योंकि 2π ≈ 6.28)

3D में: चरण 5 में A = 45°, B = 30° रखकर देखो कि sin 75° ≈ 0.966 आता है। खेल वाले चरण में cos 200° का चिह्न पहले सोचो, फिर जाँचो।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• π rad = 180°, l = rθ
• sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x, 1 + cot²x = cosec²x
• sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
• cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
• tan(A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B)
• sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2 sin²x, tan 2x = 2tan x/(1 − tan²x)
• sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x, cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
• cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• l = rθ में डिग्री रख देना। θ रेडियन में होना चाहिए।
• sin(A + B) = sin A + sin B लिखना। सही सूत्र: sin A cos B + cos A sin B।
• चतुर्थांश का चिह्न भूल जाना। sin² + cos² = 1 के बाद + या − चतुर्थांश से चुनो (चरण 3)।
• sin²x को sin(x²) समझना। sin²x = (sin x)²।