द्विघात फलन क्या है?
फलन एक नियम है जो हर इनपुट x के लिए एक आउटपुट y देता है।
द्विघात फलन का नियम है y = ax² + bx + c। यहाँ a, b, c स्थिर संख्याएँ हैं और a ≠ 0। x की सबसे बड़ी घात 2 है।
तालिका से भी पहचान सकते हैं। y = x² में x = 0, 1, 2, 3, 4 के लिए y = 0, 1, 4, 9, 16। पहले अंतर 1, 3, 5, 7 हैं। दूसरे अंतर सब 2 हैं। दूसरे अंतर बराबर हों तो पैटर्न द्विघात है।
हर द्विघात फलन का ग्राफ़ परवलय होता है: चिकना U या ∩ आकार। यह कभी सीधी रेखा नहीं होता और इसमें कोई नुकीला कोना नहीं होता।
परवलय की मुख्य बातें
- दिशा: a > 0 तो ऊपर खुलता है (U); a < 0 तो नीचे (∩)।
- चौड़ाई: |a| बड़ा तो वक्र पतला; |a| छोटा तो चौड़ा।
- शीर्ष: मोड़ बिंदु। a > 0 पर यह न्यूनतम (सबसे नीचे) और a < 0 पर अधिकतम (सबसे ऊपर) होता है।
- सममित अक्ष (axis of symmetry): शीर्ष से होकर जाने वाली खड़ी रेखा x = −b/2a। दोनों हिस्से दर्पण-प्रतिबिंब हैं।
- y-अंतःखंड: x = 0 रखें, y = c मिलता है।
- x-अंतःखंड (मूल या शून्यक): जहाँ y = 0। परवलय x-अक्ष को 2 बिंदुओं पर काट सकता है, 1 पर छू सकता है, या छूता ही नहीं।
- प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ। परिसर a > 0 पर y ≥ k और a < 0 पर y ≤ k।
रूपांतरण और शीर्ष रूप
मूल ग्राफ़ y = x² से शुरू कीजिए। बाक़ी हर परवलय इसी को खींचकर, पलटकर या खिसकाकर बनता है।
शीर्ष रूप: y = a(x − h)² + k
- a वक्र को खींचता (|a| > 1), दबाता (|a| < 1) या पलटता (a < 0) है।
- h उसे दाएँ h खिसकाता है (h ऋण हो तो बाएँ)। ध्यान: y = (x − 3)² दाएँ 3 जाता है।
- k ऊपर k खिसकाता है (k ऋण हो तो नीचे)।
इसलिए शीर्ष (h, k) और अक्ष x = h है।
मानक रूप से शीर्ष रूप (पूर्ण वर्ग बनाकर): y = x² − 6x + 5 = (x² − 6x + 9) − 9 + 5 = (x − 3)² − 4। शीर्ष (3, −4)।
गुणनखंड रूप y = a(x − p)(x − q) सीधे मूल p और q दिखाता है। अक्ष ठीक बीच में: x = (p + q)/2।
द्विघात फलन और समीकरण का संबंध
ax² + bx + c = 0 हल करना यही पूछना है: परवलय x-अक्ष को कहाँ काटता है?
- विविक्तकर D = b² − 4ac > 0: दो कटान बिंदु।
- D = 0: शीर्ष अक्ष को बस छूता है (एक दोहराया मूल)।
- D < 0: कोई कटान नहीं, कोई वास्तविक मूल नहीं।
मूल सीधे न निकलें तो ग्राफ़ से लगभग मूल पढ़िए, या तालिका बनाइए: x = 1 और x = 2 के बीच y का चिह्न बदले तो मूल इन्हीं के बीच है।
परवलय और रेखा: y = x² और y = x + 2 कहाँ मिलते हैं? x² = x + 2, यानी x² − x − 2 = 0, तो x = 2 या x = −1। दो मिलन बिंदु। नए समीकरण में D = 0 हो तो रेखा केवल छूती है (स्पर्श रेखा); D < 0 हो तो कभी नहीं मिलती।
अधिकतम और न्यूनतम वाले प्रश्न
कई असली प्रश्न "सबसे ज़्यादा" या "सबसे कम" पूछते हैं। अगर राशि द्विघात है तो उत्तर शीर्ष पर है।
- राशि को एक चर के द्विघात रूप में लिखिए।
- x = −b/2a (या शीर्ष रूप) से शीर्ष निकालिए।
- जाँचिए कि उत्तर ठीक बैठता है (लंबाई धनात्मक, समय सही सीमा में)।
उदाहरण: 40 m बाड़ से आयत बनाना है। एक भुजा x हो तो दूसरी 20 − x। क्षेत्रफल A = x(20 − x) = −x² + 20x। शीर्ष x = −20/(2·(−1)) = 10। सबसे बड़ा क्षेत्रफल 10 × 10 = 100 m²। सबसे अच्छा आयत वर्ग है।
करके देखिए: कागज़ की गेंद का परवलय
दीवार के सामने कागज़ की गेंद धीरे से उछालिए। दोस्त से फ़ोन पर वीडियो बनवाइए। कुछ-कुछ फ़्रेम पर वीडियो रोकिए और गेंद की जगह पर स्क्रीन पर छोटा निशान लगाइए। निशान जोड़िए: ∩-आकार का परवलय बनेगा। सबसे ऊँचा निशान शीर्ष है। अब ऊपर 3D में a ऋणात्मक रखकर अपना वक्र मिलाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
- शीर्ष रूप: y = a(x − h)² + k, शीर्ष (h, k)
- सममित अक्ष: x = −b / 2a
- गुणनखंड रूप: y = a(x − p)(x − q), मूल p और q
- D = b² − 4ac से 2, 1 या 0 x-अंतःखंड
हल किए गए उदाहरण
1. y = −2x² + 3 ऊपर खुलता है या नीचे? शीर्ष बताइए।
a = −2 ऋणात्मक है, इसलिए नीचे खुलता है (∩)। bx पद नहीं है, b = 0, तो शीर्ष x = 0, y = 3 पर। शीर्ष (0, 3), अधिकतम।
2. y = 3(x + 1)² − 5 का शीर्ष, अक्ष और परिसर लिखिए।
a(x − h)² + k से तुलना: h = −1, k = −5। शीर्ष (−1, −5)। अक्ष x = −1। a = 3 > 0, तो परिसर y ≥ −5।
3. y = x² − 4x + 3 का शीर्ष निकालिए और रेखाचित्र बनाइए।
a = 1, b = −4। x = −b/2a = 4/2 = 2। y = 4 − 8 + 3 = −1। शीर्ष (2, −1)। y-अंतःखंड 3। मूल: (x − 1)(x − 3) = 0, तो x = 1 और 3। इन पाँच बातों को लगाकर U बनाइए।
4. y = 2x² + 8x + 5 को शीर्ष रूप में लिखिए।
पहले दो पदों से 2 बाहर: y = 2(x² + 4x) + 5। पूर्ण वर्ग: x² + 4x = (x + 2)² − 4। तो y = 2[(x + 2)² − 4] + 5 = 2(x + 2)² − 3। शीर्ष (−2, −3)।
5. t सेकंड बाद गेंद की ऊँचाई h = 20t − 5t² मीटर है। सबसे ऊँचा बिंदु और ज़मीन पर गिरने का समय निकालिए।
a = −5, b = 20। t = −20/(2 × −5) = 2 s। h(2) = 40 − 20 = 20 m, सबसे ऊँचा बिंदु। गिरना: h = 0 → 5t(4 − t) = 0 → t = 0 या 4। 4 s बाद ज़मीन पर।
6. एक दुकान रोज़ x थैले बेचती है और मुनाफ़ा P = −x² + 30x − 125 रुपये है। कितने थैलों पर सबसे ज़्यादा मुनाफ़ा होगा?
a = −1, b = 30। x = −30/(−2) = 15 थैले। P(15) = −225 + 450 − 125 = ₹100। 15 थैले बेचने पर सबसे ज़्यादा मुनाफ़ा ₹100।
7. y = x² और रेखा y = 2x + 3 कहाँ मिलते हैं?
x² = 2x + 3 → x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0। x = 3 पर y = 9; x = −1 पर y = 1। मिलन बिंदु (3, 9) और (−1, 1)।
आम गलतियाँ
- y = (x − 3)² को बाएँ खिसकना समझना। कोष्ठक के अंदर का ऋण चिह्न ग्राफ़ को दाएँ 3 ले जाता है।
- x = −b/2a की जगह x = b/2a लिखना। ऋण चिह्न ज़रूरी है: y = x² − 6x + 1 का अक्ष x = 3 है, −3 नहीं।
- भूल जाना कि ऋणात्मक a पर शीर्ष अधिकतम होता है, न्यूनतम नहीं।
- सिर्फ़ शीर्ष का x निकालकर रुक जाना। प्रश्न अक्सर y-मान (सबसे बड़ा क्षेत्रफल, सबसे ज़्यादा ऊँचाई) भी माँगता है।