फलन क्या है?
फलन एक नियम है। तुम एक संख्या देते हो (इनपुट)। यह एक संख्या लौटाता है (आउटपुट)। इसे f(x) लिखते हैं, पढ़ते हैं "f ऑफ़ x"।
एक इनपुट के दो आउटपुट कभी नहीं हो सकते। हाँ, दो इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है।
फलन को चार तरह से दिखाते हैं: नियम (f(x) = 2x + 1), मानों की सारणी, ग्राफ़, या दो समुच्चयों के बीच तीर। ग्राफ़ पर ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण करो: कोई खड़ी रेखा ग्राफ़ को दो जगह काटे, तो वह फलन नहीं है।
प्रांत (domain) और परिसर (range)
प्रांत = जिन इनपुट की अनुमति है। परिसर = जो आउटपुट मिल सकते हैं।
- f(x) = 1/x: x शून्य नहीं हो सकता। प्रांत: 0 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ।
- f(x) = √x: x ऋणात्मक नहीं हो सकता। प्रांत: x ≥ 0, परिसर: y ≥ 0।
- f(x) = x²: हर x चलेगा। परिसर: y ≥ 0।
दो नियम याद रखो: शून्य से भाग नहीं, ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं।
मानक फलन और उनके ग्राफ़
ये आकार याद कर लो, ज़्यादातर सवाल इन्हीं से आते हैं।
- रैखिक y = mx + c: सीधी रेखा, m ढाल है।
- द्विघात y = x²: U आकार (परवलय)।
- घन y = x³: मूल बिंदु से गुज़रता S आकार।
- व्युत्क्रम y = 1/x: दो अलग शाखाएँ, अक्षों को कभी नहीं छूतीं। अक्ष इसकी अनंतस्पर्शी (asymptote) हैं।
- वर्गमूल y = √x: (0, 0) से शुरू होकर धीरे-धीरे ऊपर।
- चरघातांकी y = 2ˣ: तेज़ी से बढ़ता है, हमेशा 0 से ऊपर।
एक ही आकार वाले फलनों का कुल (family) होता है। y = x² + c, U को ऊपर-नीचे ले जाता है; y = (x − a)² उसे a दाईं ओर; y = k·x² उसे पतला या चौड़ा करता है।
ग्राफ़ से पढ़ो: फलन कहाँ बढ़ रहा है या घट रहा है, अधिकतम-न्यूनतम मान, और शून्यक (जहाँ x-अक्ष को काटे)।
संयुक्त फलन (composite function)
संयुक्त फलन दो मशीनों को जोड़ता है। g(f(x)) या (g∘f)(x) का अर्थ: पहले f, फिर g।
उदाहरण: f(x) = 2x, g(x) = x + 3।
- g(f(x)) = g(2x) = 2x + 3
- f(g(x)) = f(x + 3) = 2x + 6
दोनों अलग हैं, क्रम मायने रखता है। साथ ही f का आउटपुट g के प्रांत में होना चाहिए।
प्रतिलोम फलन (inverse function)
प्रतिलोम f⁻¹, f का काम मिटाता है। अगर f(3) = 6, तो f⁻¹(6) = 3।
निकालने का तरीका:
- y = f(x) लिखो।
- x और y की अदला-बदली करो।
- y को अकेला करो।
उदाहरण: y = 2x + 3 → x = 2y + 3 → y = (x − 3)/2।
सिर्फ़ एकैकी फलन का प्रतिलोम होता है (हर आउटपुट सिर्फ़ एक इनपुट से)। क्षैतिज रेखा परीक्षण करो। y = x² इसमें फ़ेल है, इसलिए प्रांत x ≥ 0 रखते हैं; तब प्रतिलोम √x है।
f⁻¹ का ग्राफ़, रेखा y = x में f के ग्राफ़ का प्रतिबिंब है। f का प्रांत f⁻¹ का परिसर बन जाता है।
ध्यान दो: f⁻¹(x) का मतलब 1/f(x) नहीं है।
फलन से मॉडल बनाना
फलन असली हालात बताते हैं। मोबाइल प्लान: C(n) = 199 + 2n। किसी कंपनी का लागत फलन C(q) = स्थिर लागत + प्रति वस्तु लागत × q। आय R(q) = कीमत × q। लाभ P(q) = R(q) − C(q)। जहाँ P(q) = 0, वह सम-विच्छेद (break-even) बिंदु है।
तरीका: इनपुट-आउटपुट पहचानो, नियम लिखो, समझदार प्रांत तय करो (−5 चीज़ें नहीं बन सकतीं), फिर ग्राफ़ से जवाब पढ़ो।
खुद करके देखो
3D में f = x + 3 और g = 2x चुनो, x = 1 रखो। पहले अनुमान लगाओ कि g(f(1)) और f(g(1)) क्या होंगे, फिर जाँचो। घर पर: "कोई संख्या सोचो" वाली पहेली बनाओ (दोगुना करो, 5 जोड़ो...) और फिर उल्टे कदम लिखो जो शुरुआती संख्या वापस दें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- (g∘f)(x) = g(f(x)) — पहले f
- f⁻¹(f(x)) = x और f(f⁻¹(x)) = x
- f⁻¹ निकालना: y = f(x) → x, y बदलो → y निकालो
- f का प्रांत = f⁻¹ का परिसर
- f⁻¹ का ग्राफ़ = y = x में f का प्रतिबिंब
- (g∘f)⁻¹ = f⁻¹∘g⁻¹
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = 3x − 1। f(4) और f(−2) निकालो।
f(4) = 12 − 1 = 11। f(−2) = −6 − 1 = −7।
2. f(x) = 1/(x − 5) का प्रांत निकालो।
हर शून्य नहीं हो सकता: x − 5 ≠ 0, यानी x ≠ 5। प्रांत: 5 को छोड़ सभी वास्तविक संख्याएँ।
3. f(x) = x², g(x) = x + 1। g(f(2)) और f(g(2)) निकालो।
f(2) = 4, g(4) = 5। g(2) = 3, f(3) = 9। जवाब अलग हैं: क्रम मायने रखता है।
4. f(x) = (x + 4)/3 का प्रतिलोम निकालो।
y = (x + 4)/3। बदलो: x = (y + 4)/3। 3x = y + 4, y = 3x − 4। जाँच: f(2) = 2 और f⁻¹(2) = 2 ✓।
5. f(x) = 2x + 1, g(x) = x²। f(g(x)) लिखो और f(g(x)) = 19 हल करो।
f(g(x)) = 2x² + 1। 2x² + 1 = 19 → x² = 9 → x = 3 या −3।
6. एक बेकरी की रोज़ की स्थिर लागत ₹2000 है, हर केक बनाने में ₹150 लगते हैं, केक ₹250 में बिकता है। लाभ फलन और सम-विच्छेद संख्या निकालो।
C(q) = 2000 + 150q, R(q) = 250q। P(q) = 100q − 2000। P = 0 → q = 20 केक।
आम गलतियाँ
- g(f(x)) में क्रम उल्टा कर देना। अंदर वाला f पहले चलता है।
- f⁻¹(x) को 1/f(x) समझना। इसका मतलब उल्टा करने वाला फलन है।
- y = x² का प्रतिलोम बिना प्रांत सीमित किए लिखना।
- 1/x या √x के प्रांत में 0 या ऋणात्मक संख्या छोड़ देना।