क्रमित युग्म और कार्तीय गुणन
क्रमित युग्म (a, b) में पहला और दूसरा स्थान तय है। (a, b) = (c, d) तभी जब a = c और b = d। इसलिए (2, 3) ≠ (3, 2)।
कार्तीय गुणन A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}। 3D के पहले चरण में हर तीर एक युग्म है।
- n(A × B) = n(A) × n(B)। A या B रिक्त हो तो A × B = ∅।
- आम तौर पर A × B ≠ B × A।
- R × R = पूरा निर्देशांक तल।
- A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A}: क्रमित त्रिक। R × R × R = त्रिविमीय आकाश।
संबंध, प्रांत, सहप्रांत, परिसर
A से B में संबंध R, A × B का कोई भी उपसमुच्चय है। इसे किसी नियम से चुनते हैं, जैसे 'b = a + 3'।
- प्रांत: R के सारे पहले अवयव।
- परिसर: सारे दूसरे अवयव (प्रतिबिंब)।
- सहप्रांत: पूरा B। परिसर ⊆ सहप्रांत।
n(A) = p, n(B) = q हो तो A से B में 2^(pq) संबंध हैं।
फलन: एक ख़ास संबंध
A से B में संबंध f फलन है अगर A के हर अवयव का B में एक और सिर्फ़ एक प्रतिबिंब हो। लिखते हैं f : A → B, y = f(x)।
- A का कोई अवयव बिना तीर के न रहे।
- किसी अवयव से दो तीर न निकलें।
- दो अवयवों का एक ही प्रतिबिंब हो सकता है।
चरण 2 का संबंध फलन नहीं है (1 से दो तीर, 2 से कोई नहीं)। चरण 3 फलन है।
खड़ी रेखा परीक्षण
ग्राफ़ पर हर खड़ी रेखा उसे ज़्यादा से ज़्यादा एक बार काटे, तभी वह फलन है (चरण 4)।
वास्तविक फलनों के प्रकार और ग्राफ़
- अचर फलन f(x) = c: सपाट रेखा। परिसर {c}।
- तत्समक फलन f(x) = x: मूलबिंदु से 45° की रेखा।
- बहुपद फलन, जैसे x² − 1: U जैसा परवलय।
- परिमेय फलन p(x)/q(x), q(x) ≠ 0। जैसे 1/x: दो शाखाएँ, प्रांत R − {0}।
- मापांक फलन |x|: V आकार। परिसर [0, ∞)।
- चिह्न फलन sgn x: x > 0 पर 1, x = 0 पर 0, x < 0 पर −1। परिसर {−1, 0, 1}।
- घातांकी फलन aˣ, जैसे 2ˣ: हमेशा x-अक्ष के ऊपर, (0, 1) से गुज़रता है।
- लघुगणकीय फलन logₐ x, x > 0: (1, 0) से गुज़रता है। प्रांत (0, ∞), परिसर R।
- महत्तम पूर्णांक फलन [x]: x से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक। [2.7] = 2, [−1.2] = −2। ग्राफ़ सीढ़ी जैसा।
फलनों का बीजगणित
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f − g)(x) = f(x) − g(x)
- (fg)(x) = f(x) · g(x), (αf)(x) = α f(x)
- (f/g)(x) = f(x)/g(x), सिर्फ़ जहाँ g(x) ≠ 0
चरण 5 में हर x पर ऊँचाइयाँ जोड़कर f + g बनता है। वहाँ हल किया उदाहरण एक-एक लाइन खुलता है।
करके देखो
घर पर: परिवार के 4 लोगों के नाम एक कॉलम में, उनके जन्म के महीने दूसरे में लिखो। तीर बनाओ। 'व्यक्ति → महीना' फलन है? 'महीना → व्यक्ति' फलन है?
3D में: खेल वाले चरण में x = −1.5 पर [x] का अंदाज़ा लगाओ, फिर खिसकाकर जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- n(A × B) = n(A) · n(B)
- A से B में संबंधों की संख्या = 2^(n(A)·n(B))
- |x| = x (x ≥ 0), −x (x < 0)
- sgn x = 1 (x > 0), 0 (x = 0), −1 (x < 0)
- [x] = x से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक
- (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0
हल किए गए उदाहरण
1. (x + 1, y − 2) = (3, 1) हो तो x, y निकालो।
स्थान मिलाओ: x + 1 = 3 → x = 2; y − 2 = 1 → y = 3।
2. A = {1, 2}, B = {a, b, c}। A × B लिखो और n(A × B) बताओ।
{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}। n = 2 × 3 = 6।
3. A = {1, 2}। A × A × A लिखो।
{(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)}: 2³ = 8 त्रिक।
4. R = {(x, x + 3) : x ∈ {0, 1, 2, 3}}। रोस्टर रूप, प्रांत और परिसर लिखो।
R = {(0, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6)}। प्रांत {0, 1, 2, 3}, परिसर {3, 4, 5, 6}।
5. {1, 2, 3} से कौन फलन है? (i) {(1, 4), (2, 4), (3, 5)} (ii) {(1, 4), (1, 5), (3, 5)}
(i) हर इनपुट का एक प्रतिबिंब: फलन। (ii) 1 के दो, 2 का कोई नहीं: फलन नहीं।
6. f(x) = 1/(x − 2) का प्रांत और परिसर निकालो।
हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए x ≠ 2: प्रांत R − {2}। मान कभी 0 नहीं होता: परिसर R − {0}।
7. [3.9], [−3.9], sgn(−7), |−4| + |2| निकालो।
[3.9] = 3, [−3.9] = −4, sgn(−7) = −1, |−4| + |2| = 6।
8. f(x) = x, g(x) = x²। (f + g)(2), (f − g)(2), (fg)(2), (f/g)(2) और f/g का प्रांत।
6, −2, 8, 1/2। g(0) = 0, इसलिए f/g का प्रांत R − {0} (चरण 5)।
आम गलतियाँ
- (a, b) = (b, a) मान लेना। क्रमित युग्म में क्रम ज़रूरी है।
- दो इनपुट का एक आउटपुट देखकर 'फलन नहीं' कह देना। यह चलता है; एक इनपुट के दो आउटपुट नहीं चलते।
- सहप्रांत को परिसर मान लेना। परिसर सिर्फ़ वे मान हैं जिन तक सच में तीर पहुँचे।
- [−2.5] = −2 लिखना। सही उत्तर −3 है।