प्रांत, परिसर और फलन बताने के तरीके
फलन ऐसा नियम है जो हर इनपुट के लिए ठीक एक आउटपुट देता है। लिखते हैं y = f(x)।
- प्रांत (domain): वे सभी x जो हम डाल सकते हैं।
- परिसर (range): वे सभी y जो बाहर आते हैं।
फलन को सूत्र (f(x) = 2x + 1), तालिका, ग्राफ़ या शब्दों ("दोगुना करो और एक जोड़ो") से बता सकते हैं। ग्राफ़ में प्रांत वक्र की x-अक्ष पर परछाईं है और परिसर y-अक्ष पर परछाईं।
उदाहरण: f(x) = x² − 2x − 3 का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ और परिसर y ≥ −4 है।
शून्यक और समान चिह्न के अंतराल
फलन का शून्यक वह x है जहाँ f(x) = 0। ग्राफ़ पर वहाँ वक्र x-अक्ष से मिलता है।
दो शून्यकों के बीच ग्राफ़ अक्ष के एक ही ओर रहता है, इसलिए वहाँ f का चिह्न नहीं बदलता। इन्हें समान चिह्न के अंतराल कहते हैं।
f(x) = x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3): शून्यक −1 और 3। x < −1 और x > 3 पर f(x) > 0; −1 < x < 3 पर f(x) < 0।
वर्धमान और ह्रासमान (एकदिष्टता)
किसी अंतराल पर f वर्धमान है अगर बड़ा x हमेशा बड़ा f(x) दे: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)। दाएँ चलें तो ग्राफ़ ऊपर जाता है।
f ह्रासमान है अगर x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)। दाएँ चलें तो ग्राफ़ नीचे जाता है।
जो फलन किसी अंतराल पर सिर्फ़ बढ़े या सिर्फ़ घटे, वह वहाँ एकदिष्ट (monotonic) है। 2x + 1 हर जगह वर्धमान है। x² − 2x − 3, x ≤ 1 पर ह्रासमान और x ≥ 1 पर वर्धमान है।
ध्यान दें: अंतराल हमेशा x के मानों में लिखें, y में नहीं।
अधिकतम और न्यूनतम मान
अधिकतम मान f का सबसे बड़ा मान है और न्यूनतम मान सबसे छोटा। ग्राफ़ पर ये सबसे ऊँचे और सबसे नीचे के बिंदु हैं।
जहाँ f बढ़ना छोड़कर घटने लगे, वहाँ स्थानीय अधिकतम (पहाड़ी की चोटी)। जहाँ घटना छोड़कर बढ़ने लगे, वहाँ स्थानीय न्यूनतम (घाटी)।
x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4। वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए सबसे छोटा मान −4, x = 1 पर। अधिकतम नहीं है।
x³ − 3x: x = −1 पर स्थानीय अधिकतम 2, x = 1 पर स्थानीय न्यूनतम −2।
सम और विषम फलन
पहले देखें कि प्रांत सममित है (x हो तो −x भी हो)। फिर:
- सम फलन: f(−x) = f(x)। ग्राफ़ y-अक्ष में दर्पण छवि। जैसे x², x² − 4, |x|।
- विषम फलन: f(−x) = −f(x)। मूलबिंदु पर 180° घुमाने पर ग्राफ़ वैसा ही। जैसे x, x³, x³ − 3x।
- ज़्यादातर फलन न सम न विषम होते हैं, जैसे x² − 2x − 3।
जाँच: x की जगह −x रखिए और सरल कीजिए। f(x) वापस मिले तो सम, −f(x) मिले तो विषम।
करके देखें: पहले अंदाज़ा, फिर जाँच
3D में f(x) = x³ − 3x चुनिए। x खिसकाने से पहले अंदाज़ा लगाइए: कहाँ वर्धमान है? कहाँ ऋणात्मक? फिर x को −4 से 4 तक ले जाकर रीडआउट देखिए। कागज़ पर x = −2, −1, 0, 1, 2 की तालिका बनाइए और जाँचिए कि यह विषम है: f(−1) = 2 और f(1) = −2।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- शून्यक: f(x) = 0
- वर्धमान: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
- ह्रासमान: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
- सम: f(−x) = f(x)
- विषम: f(−x) = −f(x)
- a(x − h)² + k का न्यूनतम k (a > 0) या अधिकतम k (a < 0), x = h पर
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = 3x − 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
3x − 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2। एक ही शून्यक x = 2।
2. f(x) = x² − 9 के शून्यक और चिह्न के अंतराल बताइए।
(x − 3)(x + 3) = 0 ⇒ x = −3 या 3। x = 0 पर f(0) = −9 < 0। इसलिए (−3, 3) पर f < 0, और x < −3, x > 3 पर f > 0।
3. f(x) = −2x + 5 वर्धमान है या ह्रासमान?
x = 0 पर f = 5, x = 1 पर f = 3। बड़ा x, छोटा f। ढाल −2 ऋणात्मक है, इसलिए हर जगह ह्रासमान।
4. f(x) = x² − 6x + 11 का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
पूर्ण वर्ग: (x − 3)² + 2। वर्ग ≥ 0, इसलिए f ≥ 2। न्यूनतम मान 2, x = 3 पर। x ≤ 3 पर ह्रासमान, x ≥ 3 पर वर्धमान।
5. f(x) = x⁴ + x² सम, विषम या कोई नहीं?
f(−x) = x⁴ + x² = f(x)। इसलिए सम।
6. f(x) = x³ + x + 1 सम, विषम या कोई नहीं?
f(−x) = −x³ − x + 1। यह न f(x) है, न −f(x) = −x³ − x − 1 (+1 के कारण)। इसलिए न सम न विषम।
आम गलतियाँ
- वर्धमान अंतराल y के मानों में लिख देना। एकदिष्टता के अंतराल हमेशा x के होते हैं।
- न्यूनतम मान पूछने पर x = 1 लिख देना। मान f(1) = −4 है।
- सिर्फ़ x² दिखने से फलन को सम मान लेना। x² − 2x सम नहीं है; f(−x) जाँचिए।
- सम/विषम जाँचने से पहले प्रांत की सममिति न देखना। √x न सम है न विषम।