असमिका क्या है?
समीकरण कहता है कि दोनों पक्ष बराबर हैं। असमिका कहती है कि वे बराबर नहीं हैं, और बताती है कि कौन बड़ा है।
- a < b: a, b से छोटा है।
- a > b: a, b से बड़ा है।
- a ≤ b: a, b से छोटा या बराबर है।
- a ≥ b: a, b से बड़ा या बराबर है।
संख्या रेखा पर संख्याएँ बाएँ से दाएँ बढ़ती हैं। इसलिए बाईं ओर वाली संख्या हमेशा छोटी है। −7 < −2, क्योंकि −7 ज़्यादा बाईं ओर है।
किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं में से ठीक एक बात सत्य होती है: a < b, a = b या a > b।
असमिकाओं के नियम (गुणधर्म)
ये नियम समीकरण जैसे ही हैं, बस एक बड़ी चेतावनी के साथ।
- दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ो या घटाओ: चिह्न वही। a < b हो तो a + c < b + c।
- धनात्मक संख्या से गुणा या भाग: चिह्न वही। a < b और c > 0 हो तो ac < bc।
- ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग: चिह्न पलटता है। a < b और c < 0 हो तो ac > bc।
- संक्रामक नियम: a < b और b < c हो तो a < c।
- एक ही दिशा वाली दो असमिकाओं को जोड़ सकते हैं: a < b और c < d से a + c < b + d। घटाना सुरक्षित नहीं।
- दो धनात्मक संख्याओं का व्युत्क्रम लेने पर चिह्न पलटता है: 2 < 5 पर 1/2 > 1/5।
ऋणात्मक से चिह्न क्यों पलटता है? −1 से गुणा करने पर हर बिंदु शून्य के पार दर्पण में चला जाता है। बाईं वाली संख्या दाईं ओर पहुँच जाती है, तो क्रम उलट जाता है।
रैखिक असमिका हल करना और अंतराल संकेतन
ऊपर के नियमों से समीकरण की तरह ही हल करो। उत्तर संख्याओं का एक समुच्चय होता है।
उदाहरण: 5 − 2x > 11 → −2x > 6 → −2 से भाग, चिह्न पलटो → x < −3।
उत्तर दिखाना
- संख्या रेखा पर: अंतिम संख्या शामिल हो (≤, ≥) तो भरा बिंदु; शामिल न हो (<, >) तो खोखला बिंदु। सही भाग को रंग दो।
- अंतराल संकेतन: वर्ग कोष्ठक [ ] = शामिल, गोल कोष्ठक ( ) = शामिल नहीं। ∞ के साथ हमेशा गोल कोष्ठक।
| असमिका | अंतराल |
|---|---|
| x ≤ 4 | (−∞, 4] |
| x > −1 | (−1, ∞) |
| −2 < x ≤ 5 | (−2, 5] |
| सभी वास्तविक संख्याएँ | (−∞, ∞) = ℝ |
दोहरी असमिका जैसे −1 ≤ 2x + 3 < 9: तीनों भागों पर एक ही क्रिया करो। −4 ≤ 2x < 6, तो −2 ≤ x < 3।
असमिका निकाय: हर असमिका अलग हल करो, फिर वही संख्याएँ रखो जो दोनों को संतुष्ट करें (साझा भाग)।
द्विघात, परिमेय और मापांक असमिका
द्विघात असमिका (ax² + bx + c > 0 या < 0):
- सब कुछ एक ओर ले जाओ ताकि दूसरी ओर 0 रहे।
- मूल निकालो (गुणनखंड या सूत्र से)।
- ग्राफ़ सोचो। a > 0 हो तो परवलय ऊपर खुलता है: मूलों के बीच शून्य से नीचे, बाहर शून्य से ऊपर।
x² − x − 6 < 0 → (x − 3)(x + 2) < 0 → −2 < x < 3।
x² − x − 6 ≥ 0 → x ≤ −2 या x ≥ 3।
चिह्न सारणी विधि: मूलों को रेखा पर लगाओ; हर हिस्से में एक संख्या रखकर जाँचो; सही चिह्न वाले हिस्से रखो। यही विधि परिमेय असमिका (x − 1)/(x + 4) > 0 में भी चलती है (शून्य से भाग नहीं होता, तो x = −4 पर सदा खोखला बिंदु)। दोनों ओर (x + 4) से गुणा मत करो, उसका चिह्न पता नहीं।
मापांक (निरपेक्ष मान): |x| यानी 0 से x की दूरी।
- |x| < a (a > 0) का अर्थ −a < x < a (0 के पास)।
- |x| > a का अर्थ x < −a या x > a (0 से दूर)।
- |x − 2| ≤ 3 का अर्थ −1 ≤ x ≤ 5 (2 से 3 के अंदर)।
हमेशा सत्य असमिकाएँ (निरपेक्ष असमिकाएँ)
कुछ असमिकाएँ हर मान्य संख्या के लिए सत्य होती हैं। इन्हें निरपेक्ष असमिका कहते हैं। इन्हें सिद्ध करने का आम तरीका: बात को 'कोई वर्ग ऋणात्मक नहीं होता' पर ले आओ।
- हर वास्तविक x के लिए x² ≥ 0। तो (a − b)² ≥ 0, जिससे a² + b² ≥ 2ab।
- AM–GM असमिका: a, b ≥ 0 के लिए (a + b)/2 ≥ √(ab)। समांतर माध्य कभी गुणोत्तर माध्य से कम नहीं होता। बराबर तभी जब a = b।
- x > 0 के लिए: x + 1/x ≥ 2।
AM–GM का प्रमाण: (√a − √b)² ≥ 0 → a − 2√(ab) + b ≥ 0 → (a + b)/2 ≥ √(ab)।
उपयोग: 20 cm परिमाप वाले सभी आयतों में वर्ग (5 × 5) का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है, 25 cm²।
घर पर करके देखो
कागज़ पर −6 से 6 तक संख्या रेखा बनाओ। 1 पर एक सिक्का और 3 पर एक बटन रखो। अब '−1 से गुणा' करो: दोनों को शून्य के दूसरी ओर उतनी ही दूरी पर ले जाओ। अब बाईं ओर कौन है? दोनों कथन < या > से लिखो। तुमने देख लिया कि चिह्न क्यों पलटता है।
3D के आख़िरी चरण में |x| < a चुनो और a = 0 करो। पहले अनुमान लगाओ: कितनी संख्याएँ हरी होंगी?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- a < b हो तो a + c < b + c
- a < b और c > 0 हो तो ac < bc
- a < b और c < 0 हो तो ac > bc (चिह्न पलटो)
- 0 < a < b हो तो 1/a > 1/b
- |x| < a ⇔ −a < x < a (a > 0)
- |x| > a ⇔ x < −a या x > a
- (a + b)/2 ≥ √(ab), a, b ≥ 0 (AM–GM)
- [ ] शामिल, ( ) शामिल नहीं; ∞ के साथ सदा ( )
हल किए गए उदाहरण
1. 3x + 4 < 19 हल करो और अंतराल लिखो।
4 घटाओ: 3x < 15। 3 से भाग (धनात्मक, चिह्न वही): x < 5। अंतराल (−∞, 5); 5 पर खोखला बिंदु।
2. 7 − 2x ≥ 1 हल करो।
7 घटाओ: −2x ≥ −6। −2 से भाग, चिह्न पलटो: x ≤ 3। अंतराल (−∞, 3]। जाँच x = 0: 7 ≥ 1 ✓।
3. −3 < 2x + 1 ≤ 9 हल करो।
तीनों भागों से 1 घटाओ: −4 < 2x ≤ 8। 2 से भाग: −2 < x ≤ 4। अंतराल (−2, 4]।
4. निकाय x + 2 > 0 और 2x − 5 ≤ 3 हल करो।
पहली: x > −2। दूसरी: 2x ≤ 8, x ≤ 4। दोनों एक साथ: −2 < x ≤ 4, अंतराल (−2, 4]।
5. x² − 5x + 4 ≤ 0 हल करो।
(x − 1)(x − 4) ≤ 0। मूल 1 और 4। परवलय ऊपर खुलता है, तो मूलों के बीच ≤ 0, सिरे शामिल: 1 ≤ x ≤ 4, अंतराल [1, 4]।
6. |2x − 1| < 5 हल करो।
−5 < 2x − 1 < 5। 1 जोड़ो: −4 < 2x < 6। 2 से भाग: −2 < x < 3। अंतराल (−2, 3)।
7. सिद्ध करो कि हर x > 0 के लिए x + 1/x ≥ 2।
x > 0 है, तो x से गुणा (चिह्न वही): x² + 1 ≥ 2x ⇔ x² − 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)² ≥ 0, जो सदा सत्य है। बराबरी x = 1 पर।
आम गलतियाँ
- ऋणात्मक से भाग के बाद चिह्न न पलटना: −2x > 6 से x < −3 आता है, x > −3 नहीं।
- < या > के लिए भरा बिंदु या वर्ग कोष्ठक लगाना; वे सिरे शामिल नहीं हैं। और ∞] लिखना ग़लत है, ∞ के साथ सदा गोल कोष्ठक।
- (x + 4) जैसे व्यंजक से दोनों ओर गुणा करना, जिसका चिह्न पता नहीं। इसकी जगह चिह्न सारणी लगाओ।
- x² < 9 को x < ±3 लिखना। सही उत्तर −3 < x < 3; और x² > 9 का उत्तर x < −3 या x > 3।