निरपेक्ष मान क्या है?
संख्या रेखा पर एक संख्या रखो। 0 तक कदम गिनो। वह गिनती उसका निरपेक्ष मान (absolute value) है। इसे दो खड़ी रेखाओं से लिखते हैं: |x|।
इसलिए |5| = 5 और |-5| = 5। दोनों 0 से 5 कदम दूर हैं। |0| = 0।
सूत्र में: x ≥ 0 हो तो |x| = x, और x ऋणात्मक हो तो |x| = -x। -x का माइनस ऋणात्मक संख्या को धनात्मक बना देता है, इसलिए |x| कभी 0 से कम नहीं होता।
दो संख्याओं के बीच दूरी: |x - a|
रेखा पर x और a के बीच की दूरी |x - a| है। यह |a - x| के बराबर है। उदाहरण: 2 से 9 की दूरी |9 - 2| = 7। -4 से 3 की दूरी |3 - (-4)| = 7।
याद रखो: |x| असल में |x - 0| है, यानी 0 से दूरी।
|x + a| = b हल करना
|x - c| = b को ऐसे पढ़ो: "x, c से b कदम दूर है"। c से b कदम दाएँ और b कदम बाएँ जाओ। दो उत्तर मिलते हैं: x = c + b और x = c - b।
|x + 3| = 5 के लिए: इसे |x - (-3)| = 5 लिखो। तो x = -3 + 5 = 2 या x = -3 - 5 = -8। जाँच: |2 + 3| = 5 और |-8 + 3| = 5।
अगर b ऋणात्मक है तो कोई उत्तर नहीं, क्योंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती। अगर b = 0 तो एक ही उत्तर: x = c।
संख्या रेखा पर अंतराल
अंतराल (interval) दो सिरों के बीच की सारी संख्याएँ हैं।
- [a, b] बंद अंतराल: a और b शामिल (भरे बिंदु)। मतलब a ≤ x ≤ b।
- (a, b) खुला अंतराल: a और b शामिल नहीं (खाली बिंदु)। मतलब a < x < b।
- [a, b) और (a, b] अर्ध-खुले अंतराल हैं।
- (a, ∞): a से ऊपर सब कुछ। ∞ का मतलब "कभी खत्म नहीं होता"। उसके साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है।
निरपेक्ष मान से रिश्ता: |x - c| < r का मतलब c - r < x < c + r, यानी अंतराल (c - r, c + r)। और |x - c| > r का मतलब x इसके बाहर है: x < c - r या x > c + r।
खुद करके देखो: रेखा पर चलो
फर्श पर चॉक से रेखा खींचो और -5 से 5 लिखो। 0 पर खड़े हो जाओ। 4 कदम दाएँ चलो, फिर 0 पर लौटो और 4 कदम बाएँ चलो। आप कहाँ हैं? 4 और -4। दोनों पर |x| = 4। अब खिसकाने से पहले अंदाज़ा लगाओ: |x - 2| = 3 के लिए x कहाँ होगा? 3D में जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- x ≥ 0 हो तो |x| = x; x < 0 हो तो |x| = -x
- |x - a| = x और a के बीच की दूरी
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b या x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r या x > c + r
- [a, b] में दोनों सिरे शामिल; (a, b) में कोई नहीं
हल किए गए उदाहरण
1. |-7|, |4| और |0| ज्ञात करो।
|-7| = 7 (0 से 7 कदम)। |4| = 4। |0| = 0।
2. -2 और 5 के बीच की दूरी ज्ञात करो।
|5 - (-2)| = |7| = 7।
3. |x| = 6 हल करो।
x, 0 से 6 कदम दूर है, इसलिए x = 6 या x = -6।
4. |x + 4| = 3 हल करो।
इसे |x - (-4)| = 3 लिखो। x = -4 + 3 = -1 या x = -4 - 3 = -7। जाँच: |-1 + 4| = 3 और |-7 + 4| = 3।
5. 2 < x ≤ 9 को अंतराल में लिखो और बताओ कौन-सा बिंदु भरा है।
(2, 9]। 2 पर बिंदु खाली है (2 शामिल नहीं)। 9 पर बिंदु भरा है।
6. |2x - 5| = 7 हल करो।
2x - 5 = 7 से x = 6। 2x - 5 = -7 से x = -1। जाँच: |12 - 5| = 7 और |-2 - 5| = 7।
7. |x - 1| < 3 को अंतराल में लिखो।
1 - 3 < x < 1 + 3, यानी (-2, 4)।
8. |x - 2| = |x + 6| हल करो।
x, 2 और -6 से बराबर दूरी पर है, यानी बीच में: (2 + (-6)) / 2 = -2। जाँच: |-4| = 4 और |4| = 4।
आम गलतियाँ
- |-5| = -5 लिखना। निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता: |-5| = 5।
- |x - c| = b का सिर्फ़ एक उत्तर देना। दो जगहें हैं, c + b और c - b।
- ∞ के साथ चौकोर कोष्ठक लगाना। अनंत कोई संख्या नहीं है, इसलिए हमेशा ∞)।
- |x + 3| = 5 को x = 3 + 5 हल करना। केंद्र -3 है, 3 नहीं। x + 3 को x - (-3) लिखो।