फलन का ग्राफ़ क्या है?
फलन (function) हर इनपुट x के लिए ठीक एक आउटपुट y देता है। उसका ग्राफ़ उन सभी बिंदुओं (x, y) का समूह है जिनमें y = f(x)।
हाथ से ग्राफ़ बनाने के लिए:
- कुछ x मानों की सारणी बनाओ (ऋणात्मक, 0 और ज़रूरत हो तो भिन्न भी)।
- हर x के लिए y निकालो।
- बिंदु लगाओ।
- उन्हें चिकने वक्र से जोड़ो (रूलर से नहीं), जब तक फलन सीधी रेखा न हो या उसमें कोना न हो।
बिंदु (a, b) ग्राफ़ पर है अगर f(a) = b। जैसे (3, 9) y = x² पर है क्योंकि 3² = 9।
ग्राफ़ से पढ़े जाने वाले गुण
- प्रांत (domain): x के सभी अनुमत मान। परिसर (range): y के वे सभी मान जहाँ तक ग्राफ़ पहुँचता है।
- शून्यक (zeros): जहाँ ग्राफ़ x-अक्ष से मिलता है (y = 0)।
- वर्धमान / ह्रासमान: बाएँ से दाएँ चलने पर ग्राफ़ ऊपर जाता है या नीचे?
- सम फलन: f(−x) = f(x); ग्राफ़ y-अक्ष के सापेक्ष सममित।
- विषम फलन: f(−x) = −f(x); ग्राफ़ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित (आधा चक्कर घुमाओ तो वैसा ही दिखे)।
- अधिकतम / न्यूनतम मान: सबसे ऊँचा या सबसे नीचा बिंदु, अगर हो।
पाँच मूल ग्राफ़
| फलन | आकार | प्रांत | परिसर | सममिति | बढ़ना / घटना |
|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | परवलय (U) | सभी x | y ≥ 0 | सम | x < 0 पर घटता, x > 0 पर बढ़ता; x = 0 पर न्यूनतम 0 |
| y = x³ | घन वक्र (S) | सभी x | सभी y | विषम | हमेशा बढ़ता |
| y = √x | आधा परवलय | x ≥ 0 | y ≥ 0 | कोई नहीं | हमेशा बढ़ता (धीरे-धीरे) |
| y = |x| | V | सभी x | y ≥ 0 | सम | x < 0 पर घटता, x > 0 पर बढ़ता; (0, 0) पर कोना |
| y = k/x (k > 0) | अतिपरवलय | x ≠ 0 | y ≠ 0 | विषम | हर शाखा पर घटता; शाखाएँ पहले और तीसरे चतुर्थांश में |
y = k/x में k < 0 हो तो शाखाएँ दूसरे और चौथे चतुर्थांश में चली जाती हैं और हर शाखा पर बढ़ती हैं। अक्ष अनंतस्पर्शी (asymptotes) हैं: ऐसी रेखाएँ जिनके ग्राफ़ पास आता जाता है पर छूता नहीं। y = k/x व्युत्क्रम समानुपात दिखाता है: x·y = k स्थिर रहता है।
किसी संख्या a से गुणा, y = a·f(x), ग्राफ़ को ऊपर-नीचे खींचता है (|a| > 1 पर खड़ा, |a| < 1 पर चपटा)। ऋणात्मक a उसे उलट देता है।
ग्राफ़ से समीकरण और समीकरण निकाय हल करना
f(x) = g(x) हल करने के लिए: एक ही ग्रिड पर y = f(x) और y = g(x) बनाओ। कटान बिंदुओं के x-मान ही हल हैं। कटान बिंदुओं की संख्या = हलों की संख्या।
हल किया उदाहरण (3D के चरण 5 में दिखाया): x² = x + 2 हल करो।
- परवलय y = x² और रेखा y = x + 2 बनाओ।
- वे (−1, 1) और (2, 4) पर कटते हैं।
- जाँच: (−1)² = 1 और −1 + 2 = 1 ✓; 2² = 4 और 2 + 2 = 4 ✓।
- उत्तर: x = −1 या x = 2।
x और y वाले दो समीकरणों के निकाय के लिए दोनों ग्राफ़ बनाओ: हर कटान बिंदु (x, y) निकाय का एक हल है। ग्राफ़ से उत्तर मोटा-मोटा होता है, इसलिए हमेशा रखकर जाँचो।
ग्राफ़ से असमिका हल करना
f(x) < g(x) वहाँ सही है जहाँ f का ग्राफ़ g के ग्राफ़ से नीचे है। f(x) > g(x) वहाँ जहाँ वह ऊपर है।
उदाहरण से: कटान बिंदुओं के बीच परवलय रेखा से नीचे है, इसलिए −1 < x < 2 पर x² < x + 2, और x < −1 या x > 2 पर x² > x + 2।
आसान उदाहरण: √x > 2 वहाँ जहाँ वक्र रेखा y = 2 से ऊपर है, यानी x > 4।
करके देखो: पहले अनुमान, फिर जाँच
कागज़ पर: y = 4/x की सारणी x = 1, 2, 4, 8 और इनके ऋणात्मक मानों के लिए बनाओ। हर शाखा के बिंदु लगाकर जोड़ो। अनुमान लगाओ: x बहुत बड़ा हो तो क्या होगा? 0 के बहुत पास हो तो?
3D में: आखिरी चरण में y = x³ चुनो, a = −1 करो और स्लाइडर छोड़ने से पहले चित्र का अनुमान लगाओ। फिर y = |x| को a = 0.5 पर देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- बिंदु (a, b) y = f(x) पर है ⇔ f(a) = b
- सम: f(−x) = f(x); विषम: f(−x) = −f(x)
- y = x²: प्रांत सभी x, परिसर y ≥ 0
- y = √x: प्रांत x ≥ 0, परिसर y ≥ 0
- y = |x| = x यदि x ≥ 0, −x यदि x < 0
- y = k/x: x ≠ 0, y ≠ 0, x·y = k
- f(x) = g(x) ⇔ कटान बिंदुओं के x-निर्देशांक
हल किए गए उदाहरण
1. क्या बिंदु (−3, 9) y = x² के ग्राफ़ पर है? क्या (−2, −8) y = x³ पर है?
(−3)² = 9, तो हाँ। (−2)³ = −8, तो हाँ।
2. y = √x की सारणी x = 0, 1, 4, 9 के लिए बनाओ और ग्राफ़ बताओ।
y = 0, 1, 2, 3। बिंदु (0,0), (1,1), (4,2), (9,3)। वक्र मूल बिंदु से शुरू होकर बढ़ता है, पर धीरे-धीरे। x = 0 के बाईं ओर कुछ नहीं।
3. y = 6/x में x = 2, 3, −1 के लिए y निकालो और बताओ ग्राफ़ किन चतुर्थांशों में है।
y = 3, 2, −6। k = 6 > 0, इसलिए शाखाएँ पहले चतुर्थांश (x, y > 0) और तीसरे चतुर्थांश (x, y < 0) में।
4. y = |x| − 2 का परिसर और शून्यक निकालो।
|x| ≥ 0, तो y ≥ −2: परिसर y ≥ −2। शून्यक: |x| − 2 = 0 → |x| = 2 → x = 2 या x = −2।
5. x² = x + 2 को ग्राफ़ से हल करो और जाँचो।
y = x² और y = x + 2 बनाओ। वे (−1, 1) और (2, 4) पर कटते हैं। जाँच: 1 = −1 + 2 ✓, 4 = 2 + 2 ✓। तो x = −1 या x = 2।
6. x³ = x के कितने हल हैं? ग्राफ़ से बताओ।
y = x³ और y = x बनाओ। वे (−1, −1), (0, 0) और (1, 1) पर कटते हैं। 3 हल: x = −1, 0, 1। जाँच: (−1)³ = −1, 0³ = 0, 1³ = 1 ✓।
7. x > 0 के लिए असमिका 4/x > x ग्राफ़ से हल करो।
x > 0 पर y = 4/x और y = x वहाँ कटते हैं जहाँ 4/x = x → x² = 4 → x = 2। 2 के बाईं ओर अतिपरवलय रेखा से ऊपर है। तो 0 < x < 2 पर 4/x > x।
आम गलतियाँ
- y = k/x की दोनों शाखाओं को x = 0 के पार जोड़ देना। वहाँ ग्राफ़ में खाली जगह है; x = 0 अनुमत नहीं।
- √x को y-अक्ष के बाईं ओर बनाना। ऋणात्मक x का वास्तविक वर्गमूल नहीं होता।
- x² = x + 2 का उत्तर बिंदु (2, 4) लिखना। हल x-मान है: x = 2।
- y = |x| को चिकना U बनाना। यह मूल बिंदु पर नुकीले कोने वाला V है।