मूल (पैरेंट) फलन
मूल फलन किसी ग्राफ़ परिवार का सबसे सरल रूप है। इनके आकार याद रखो:
- y = x (मूल बिंदु से सीधी रेखा)
- y = x² (U आकार का परवलय, शीर्ष (0, 0))
- y = x³ (S आकार)
- y = |x| (V आकार)
- y = √x (आधा लेटा परवलय, (0, 0) से शुरू)
- y = 1/x (अक्षों के पास दो वक्र; अक्ष अनंतस्पर्शी हैं)
इस पाठ का हर ग्राफ़ इन्हीं में से एक है, खिसका, खिंचा या पलटा हुआ।
स्थानांतरण: ग्राफ़ खिसकाना
ऊर्ध्वाधर: y = f(x) + k ग्राफ़ को k इकाई ऊपर ले जाता है (k ऋणात्मक हो तो नीचे)। हर आउटपुट में k जुड़ता है।
क्षैतिज: y = f(x − h) ग्राफ़ को h इकाई दाएँ ले जाता है (h ऋणात्मक हो तो बाएँ)। यह उलटा लगता है। ऐसे सोचो: पुराना ग्राफ़ x = 0 पर जो ऊँचाई देता था, नया ग्राफ़ वही x = h पर देता है। इसलिए वह दाएँ खिसकता है।
उदाहरण: y = (x + 4)² − 1 यानी y = x² को 4 बाएँ और 1 नीचे। शीर्ष (−4, −1)।
कुछ किताबें इसे सदिश से लिखती हैं: (h, k) से खिसकाना = h दाएँ, k ऊपर।
खिंचाव और परावर्तन
ऊर्ध्वाधर खिंचाव: y = a·f(x) हर y को a से गुणा करता है। a = 3 हो तो ग्राफ़ 3 गुना ऊँचा। 0 < a < 1 हो तो x-अक्ष की ओर दबता है। x-अक्ष पर के बिंदु नहीं हिलते।
क्षैतिज खिंचाव: y = f(bx) हर x को 1/b से गुणा करता है। b = 2 हो तो ग्राफ़ आधा चौड़ा। b = ½ हो तो दोगुना चौड़ा। y-अक्ष पर के बिंदु नहीं हिलते।
परावर्तन: y = −f(x) ग्राफ़ को x-अक्ष में उलटता है (ऊपर-नीचे)। y = f(−x) उसे y-अक्ष में पलटता है (बाएँ ↔ दाएँ)।
सम फलन (x², |x|) f(−x) के बाद वैसे ही दिखते हैं। विषम फलन (x³) में −f(x) और f(−x) एक ही ग्राफ़ देते हैं।
कई रूपांतरण एक साथ
सामान्य रूप है y = a·f(b(x − h)) + k। बनाने का सुरक्षित क्रम:
- क्षैतिज 1/b गुना (b < 0 हो तो y-अक्ष में पलटो)।
- ऊर्ध्वाधर a गुना (a < 0 हो तो x-अक्ष में पलटो)।
- h दाएँ और k ऊपर खिसकाओ।
कोई बिंदु कहाँ जाएगा: (x, y) → (x/b + h, a·y + k)। जैसे y = 2(x − 1)² + 3 पर मूल बिंदु (1, 1) जाता है (1 + 1, 2·1 + 3) = (2, 5) पर।
ध्यान दो: y = f(2x − 6) में 6 का खिसकाव नहीं है। पहले गुणनखंड करो: f(2(x − 3)) यानी ½ दबाओ, फिर 3 दाएँ।
करके देखो: पहले अनुमान, फिर जाँच
स्लाइडर छूने से पहले लिखो कि y = −(x + 1)² + 2 का शीर्ष कहाँ होगा और ग्राफ़ ऊपर खुलेगा या नीचे। फिर खुद आज़माओ वाले चरण में a = −1, h = −1, k = 2 रखो। सही थे? अब y = |2x| और y = 2|x| आज़माओ। क्या दोनों एक ही ग्राफ़ हैं? (हाँ! क्यों, सोचो।)
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = f(x) + k → k ऊपर
- y = f(x − h) → h दाएँ
- y = a·f(x) → ऊर्ध्वाधर a गुना; a < 0 पर x-अक्ष में पलटा
- y = f(bx) → क्षैतिज 1/b गुना; b < 0 पर y-अक्ष में पलटा
- y = a·f(b(x − h)) + k: बिंदु (x, y) → (x/b + h, a·y + k)
हल किए गए उदाहरण
1. y = x² से y = (x − 5)² + 2 कैसे बनता है?
अंदर x − 5 → 5 दाएँ। बाहर +2 → 2 ऊपर। शीर्ष (0, 0) से (5, 2)।
2. y = |x| से y = −3|x| समझाओ।
बाहर −3 से गुणा: ऊर्ध्वाधर 3 गुना, फिर x-अक्ष में उलटा। V पतला और उलटा हो जाता है, शीर्ष (0, 0) ही।
3. y = √x को 4 बाएँ और 1 नीचे खिसकाओ, समीकरण लिखो।
4 बाएँ → x की जगह x + 4। 1 नीचे → 1 घटाओ। y = √(x + 4) − 1, जो (−4, −1) से शुरू होता है।
4. बिंदु (2, 8) y = f(x) पर है। y = f(2x) पर यह कहाँ होगा?
अंदर ×2 से x आधा: (2, 8) → (1, 8)। जाँच: x = 1 पर f(2·1) = f(2) = 8 ✓
5. y = 2(x + 3)² − 4 का शीर्ष और खुलने की दिशा बताओ।
a(x − h)² + k से मिलाओ: a = 2, h = −3, k = −4। शीर्ष (−3, −4)। a > 0, इसलिए ऊपर खुलता है और x² से पतला है।
6. y = f(3x − 6) + 1 के रूपांतरण क्रम से लिखो।
अंदर गुणनखंड: 3x − 6 = 3(x − 2)। तो y = f(3(x − 2)) + 1: क्षैतिज 1/3 गुना, फिर 2 दाएँ, फिर 1 ऊपर। बिंदु (x, y) → (x/3 + 2, y + 1)।
आम गलतियाँ
- f(x − 3) को बाएँ खिसकाना। अंदर माइनस से ग्राफ़ दाएँ जाता है।
- f(2x) को दोगुना चौड़ा समझना। यह आधा चौड़ा होता है।
- f(2x − 6) को 6 का खिसकाव पढ़ना। पहले गुणनखंड: f(2(x − 3)) में खिसकाव 3 है।
- −f(x) (x-अक्ष में ऊपर-नीचे पलटना) और f(−x) (y-अक्ष में बाएँ-दाएँ पलटना) को मिलाना।