घातांकी फलन क्या है?
घातांकी फलन में चर घात (power) में होता है: y = a · bˣ। यहाँ a शुरुआती मान है और b आधार या वृद्धि-गुणक। शर्त: b > 0 और b ≠ 1।
सारणी में x के 1 बढ़ने पर y हर बार एक ही संख्या b से गुणा होता है। यानी अगला y ÷ यह y स्थिर रहता है। डेटा में घातांकी संबंध ऐसे पहचानते हैं।
घातांक के नियम: bᵐ·bⁿ = bᵐ⁺ⁿ, (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ, b⁰ = 1, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, b^(1/n) = ⁿ√b।
ग्राफ, प्रांत, परिसर और अनंतस्पर्शी
y = bˣ के लिए:
- ग्राफ (0, 1) से गुज़रता है, क्योंकि b⁰ = 1।
- प्रांत: सभी वास्तविक संख्याएँ। परिसर: y > 0।
- x-अक्ष (y = 0) क्षैतिज अनंतस्पर्शी है: वक्र पास जाता है पर छूता नहीं।
- b > 1: बढ़ता (वृद्धि)। 0 < b < 1: घटता (क्षय)।
- x-अंतःखंड नहीं; y-अंतःखंड 1 (या y = a·bˣ में a)।
रैखिक, द्विघात या घातांकी? अंतर से पहचानो
बराबर x-कदमों वाली सारणी देखो:
- पहले अंतर स्थिर → रैखिक।
- दूसरे अंतर स्थिर → द्विघात।
- अनुपात स्थिर → घातांकी।
घातांकी वृद्धि शुरू में धीमी होती है, पर लंबे समय में किसी भी रैखिक या द्विघात फलन से आगे निकल जाती है।
रूपांतरण: y = a·b^(k(x − d)) + c
- a: ऊर्ध्वाधर खिंचाव (|a| > 1) या संकुचन (|a| < 1); a < 0 हो तो x-अक्ष में परावर्तन।
- k: क्षैतिज संकुचन 1/|k| से; k < 0 हो तो y-अक्ष में परावर्तन।
- d: d इकाई दाएँ खिसकाना (d ऋणात्मक हो तो बाएँ)।
- c: c इकाई ऊपर। अनंतस्पर्शी y = c पर, परिसर y > c (a > 0 हो तो)।
क्रम: पहले खिंचाव/परावर्तन, फिर खिसकाना। y = bˣ का हर बिंदु (x, y) नया बनता है (x/k + d, a·y + c)।
सवाल हल करना: वृद्धि, क्षय और डेटा
- r % वृद्धि: A = P(1 + r)ᵗ। साल में n बार चक्रवृद्धि: A = P(1 + r/n)ⁿᵗ।
- दोगुना होना: N = N₀ · 2^(t/T), T = दोगुना होने का समय।
- अर्ध-आयु: A = A₀ · (½)^(t/h), h = अर्ध-आयु।
- r % क्षय: A = P(1 − r)ᵗ (जैसे गाड़ी की क़ीमत घटना)।
डेटा का मॉडल: देखो कि अनुपात लगभग स्थिर हैं, a शुरुआती मान से और b औसत अनुपात से निकालो, या ग्राफ़िंग टूल से घातांकी रिग्रेशन करो। ग्राफ से उत्तर पढ़ने के लिए देखो वक्र किस x पर उस y तक पहुँचता है।
करके देखो: एक काग़ज़ को बार-बार आधा मोड़ो और परतें गिनो: 1, 2, 4, 8, 16... 7 बार मोड़ने पर 128 परतें। यही 2ᵗ है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = a · bˣ (a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1)
- y = a · b^(k(x − d)) + c (अनंतस्पर्शी y = c)
- A = P(1 + r)ᵗ वृद्धि; A = P(1 − r)ᵗ क्षय
- A = P(1 + r/n)ⁿᵗ चक्रवृद्धि ब्याज
- A = A₀ (½)^(t/h) अर्ध-आयु; N = N₀ · 2^(t/T) दोगुना
हल किए गए उदाहरण
1. यह सारणी रैखिक, द्विघात या घातांकी है? x: 0,1,2,3; y: 5, 15, 45, 135।
अंतर: 10, 30, 90 (स्थिर नहीं)। अनुपात: 15/5 = 3, 45/15 = 3, 135/45 = 3 → स्थिर। घातांकी: y = 5·3ˣ।
2. y = 2·3ˣ − 4 का प्रांत, परिसर, अनंतस्पर्शी और y-अंतःखंड बताओ।
प्रांत: सभी वास्तविक x। a = 2 > 0, c = −4, तो परिसर y > −4। अनंतस्पर्शी y = −4। x = 0 पर y = 2 − 4 = −2।
3. y = 2ˣ से y = −3·2^(x − 1) + 5 बनाने के रूपांतरण बताओ।
a = −3: 3 गुना ऊर्ध्वाधर खिंचाव और x-अक्ष में परावर्तन। d = 1: 1 दाएँ। c = 5: 5 ऊपर। नया अनंतस्पर्शी y = 5, परिसर y < 5।
4. ₹10,000 को 8 % सालाना चक्रवृद्धि ब्याज पर 5 साल रखा। राशि कितनी होगी?
A = 10000 × 1.08⁵। 1.08² = 1.1664; 1.08⁴ = 1.3605; ×1.08 = 1.4693। A ≈ ₹14,693।
5. 80 g रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु 6 दिन है। 18 दिन बाद कितना बचेगा?
अर्ध-आयु की संख्या = 18 ÷ 6 = 3। A = 80 × (½)³ = 10 g।
6. 200 बैक्टीरिया हर 3 घंटे में दोगुने होते हैं। कब 6400 होंगे?
6400 = 200 · 2^(t/3) → 32 = 2^(t/3)। 32 = 2⁵, तो t/3 = 5 → t = 15 घंटे।
आम गलतियाँ
- 2·3ˣ को 6ˣ लिखना। घात सिर्फ़ 3 पर है: 2·3² = 18, पर 6² = 36।
- सोचना कि ग्राफ x-अक्ष काटता है। a > 0 वाला y = a·bˣ हमेशा धनात्मक है; x-अक्ष अनंतस्पर्शी है।
- (1 + r)ᵗ में r = 8 लेना, 0.08 नहीं। प्रतिशत को पहले दशमलव में बदलो।
- d का चिह्न उल्टा लेना: y = 2^(x − 3) दाएँ 3 खिसकता है, बाएँ नहीं।