Ukraine 11 клас Mathematics (algebra and beginnings of analysis; geometry)
अध्याय: 6
1. Algebra: exponential and logarithmic functions (16 h)
Exponential function · Logarithms · Simplest exponential and logarithmic equations and inequalities
- घातांकी फलन (Exponential Functions) – घातांकी फलन का रूप y = a·bˣ है, जहाँ a ≠ 0 शुरुआती मान है और b > 0, b ≠ 1 वृद्धि-गुणक (आधार) है। b > 1 हो तो बढ़ता है, 0 < b < 1 हो तो घटता (क्षय) है। x में 1 बढ़ने पर y को b से गुणा किया जाता है (स्थिर अनुपात), जबकि रैखिक फलन में हर बार एक ही संख्या जुड़ती है। y = bˣ का ग्राफ (0, 1) से गुज़रता है, प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ, परिसर y > 0, और x-अक्ष अनंतस्पर्शी है। सामान्य रूप y = a·b^(k(x − d)) + c इसे खींचता, पलटता और खिसकाता है।
- लघुगणक (Logarithm) – लघुगणक बताता है कि कौन-सी घात चाहिए। log_b x = y का मतलब b^y = x। जैसे log₂ 8 = 3, क्योंकि 2³ = 8। लघुगणक गुणा को जोड़ में बदल देता है: log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b, log(aⁿ) = n log a। आधार 10 = साधारण लघुगणक, आधार e = प्राकृतिक लघुगणक (ln)। आधार बदल सकते हैं: log_b x = log x ÷ log b।
- चरघातांकी समीकरण और असमिकाएँ – चरघातांकी समीकरण में अज्ञात x घात में होता है, जैसे 2^x = 8। इसे हल करने के तीन तरीके हैं: आधार समान बनाओ, छिपा द्विघात हो तो प्रतिस्थापन करो, या लघुगणक लो। असमिका में आधार 1 से बड़ा हो तो चिह्न वही रहता है, 0 और 1 के बीच हो तो पलट जाता है।
2. Algebra: the integral and its applications (10 h)
Antiderivative · Definite integral
- समाकलन – समाकलन अवकलन को उलट देता है: अगर F′(x) = f(x), तो ∫f(x) dx = F(x) + C। हम मानक सूत्रों, प्रतिस्थापन (अंदर वाले हिस्से को u मानना), आंशिक भिन्न (भिन्न को तोड़ना) और खंडशः समाकलन (∫u dv = uv − ∫v du) से समाकलन करते हैं। निश्चित समाकल ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक वक्र के नीचे का चिह्नित क्षेत्रफल है, और मूल प्रमेय के अनुसार यह F(b) − F(a) के बराबर है।
3. Algebra: combinatorics, probability and statistics (10 h)
Combinatorics · Classical probability · Sample statistics
- क्रमचय और संचय – इस अध्याय का मूल है: बिना सूची बनाए गिनना। गणना का मूल सिद्धांत कहता है: यदि एक काम m तरीकों से और उसके बाद दूसरा n तरीकों से हो सकता है, तो दोनों मिलकर m × n तरीकों से होते हैं। n! (n क्रमगुणित) = 1 × 2 × … × n, और 0! = 1। क्रमचय एक व्यवस्था है, जिसमें क्रम मायने रखता है: n भिन्न वस्तुओं में से r को व्यवस्थित करने के तरीके ⁿPᵣ = n!/(n − r)!। संचय एक चयन है, जिसमें क्रम मायने नहीं रखता: ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!)। हर चयन को r! तरीकों से सजा सकते हैं, इसलिए ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!। उपयोगी तथ्य: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ और ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ। कुछ वस्तुएँ समान हों तो हर दोहराव की संख्या के क्रमगुणित से भाग दें।
- प्रायिकता: घटनाएँ, घटनाओं का बीजगणित और अभिगृहीत – घटना प्रतिदर्श समष्टि S का कोई भी उपसमुच्चय है। घटनाओं A और B से नई घटनाएँ बनती हैं: A नहीं (A′), A और B (A ∩ B), A या B (A ∪ B)। कोई साझा परिणाम न हो तो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी, और मिलकर पूरा S बनाएँ तो निःशेष। अभिगृहीत: हर P(E) ≥ 0, P(S) = 1, और परस्पर अपवर्जी A, B के लिए P(A ∪ B) = P(A) + P(B)। इनसे P(A′) = 1 − P(A) और P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) मिलते हैं।
- सांख्यिकी: वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक – जब आँकड़े वर्गों में बँटे हों (जैसे अंक 20–30), तो हर एक मान नहीं दिखता। माध्य के लिए हर वर्ग का बीच का मान लेते हैं, माध्यक के लिए चलता जोड़ (संचयी बारंबारता), और बहुलक के लिए सबसे ऊँचा खंभा। तीनों अलग तरीके से आँकड़ों का 'केंद्र' बताते हैं।
4. Geometry: polyhedra (14 h)
Polyhedra and their elements · Surface area of prisms and pyramids
- बहुफलक: प्रिज़्म, पिरामिड और प्लेटोनिक ठोस – बहुफलक (polyhedron) ऐसा बंद ठोस है जिसकी पूरी सतह समतल बहुभुजों (फलकों) से बनी हो। फलक किनारों पर मिलते हैं और किनारे शीर्षों पर। प्रिज़्म के दो बराबर समांतर आधार होते हैं; पिरामिड का एक आधार और त्रिभुज जो शीर्ष-बिंदु पर मिलते हैं; छिन्नक (frustum) वह पिरामिड है जिसका ऊपरी भाग आधार के समांतर तल से काट दिया गया हो। हर उत्तल बहुफलक के लिए ऑयलर सूत्र V − E + F = 2 सही है। सम (प्लेटोनिक) बहुफलक ठीक पाँच हैं।
- घनाभ, बेलन, शंकु, पिरामिड और गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन – पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी ठोस की बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल है — जैसे उसे लपेटने के लिए कितना कागज़ लगेगा। आयतन अंदर की जगह है — जैसे उसमें कितना पानी आएगा। घनाभ का आयतन = उसमें आने वाले 1 सेमी के घनों की गिनती। शंकु में उसी आधार और ऊँचाई वाले बेलन का एक-तिहाई आता है, और पिरामिड में अपने प्रिज़्म का एक-तिहाई।
5. Geometry: solids of revolution (12 h)
Cylinder and cone · Sphere and ball
- परिक्रमण ठोस (Solids of Revolution) – जब कोई सपाट आकृति किसी सीधी रेखा (अक्ष) के चारों ओर पूरा 360° घूमती है, तो जो 3D आकृति बनती है उसे परिक्रमण ठोस कहते हैं। आयत से बेलन, समकोण त्रिभुज से शंकु, अर्धवृत्त से गोला और समलंब से छिन्नक बनता है। इनके आयतन हैं V = πr²h, ⅓πr²h, ⁴⁄₃πr³ और ⅓πh(R² + Rr + r²)। कलन में वक्र y = f(x) को x-अक्ष पर घुमाने से V = π∫y² dx।
6. Geometry: volumes and surface areas (11 h)
Volume · Surface areas of round solids
- पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन: ठोसों का संयोजन – बहुत सी चीज़ें दो सरल ठोसों को जोड़कर बनती हैं, जैसे बेलन के ऊपर शंकु। पृष्ठीय क्षेत्रफल सिर्फ़ बाहर की सतह है, इसलिए जोड़ वाला छिपा हिस्सा नहीं गिनते। आयतन अंदर की जगह है, इसलिए हिस्सों के आयतन सीधे जोड़ देते हैं।